Номер 1006, страница 191 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса шарика $m = 100$ г

Высота падения $h = 2,9$ м

Максимальное сжатие пружины $Δl_{max} = 10$ см

Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с

Ускорение свободного падения $g \approx 10$ Н/кг

Перевод в систему СИ:

$m = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}$

$Δl_{max} = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

Жесткость пружины $k$

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения полной механической энергии для системы «шарик-пружина-Земля». Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, эта система является замкнутой, и ее полная механическая энергия сохраняется.

Рассмотрим два ключевых состояния системы:

1. Начальное состояние: шарик находится на высоте $h$ над верхним концом недеформированной пружины и покоится.

2. Конечное состояние: пружина максимально сжата на величину $Δl_{max}$, и скорость шарика в этот момент равна нулю.

Выберем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии положение шарика при максимальном сжатии пружины. В этом случае в начальном состоянии шарик находится на высоте $H = h + Δl_{max}$ относительно нулевого уровня.

Полная механическая энергия системы в начальном состоянии ($E_1$) состоит только из потенциальной энергии шарика, так как его скорость равна нулю (кинетическая энергия $E_{k1}=0$) и пружина не деформирована (потенциальная энергия пружины $E_{p(spring)1}=0$):

$E_1 = E_{p(grav)1} = mgH = mg(h + Δl_{max})$

В конечном состоянии ($E_2$) полная механическая энергия системы состоит только из потенциальной энергии сжатой пружины. Кинетическая энергия шарика равна нулю ($E_{k2}=0$), так как он мгновенно останавливается, а его потенциальная энергия также равна нулю ($E_{p(grav)2}=0$), поскольку он находится на выбранном нами нулевом уровне.

$E_2 = E_{p(spring)2} = \frac{k(Δl_{max})^2}{2}$

По закону сохранения энергии, полная энергия системы в начальном состоянии равна полной энергии в конечном состоянии:

$E_1 = E_2$

$mg(h + Δl_{max}) = \frac{k(Δl_{max})^2}{2}$

Из этого уравнения выражаем искомую жесткость пружины $k$:

$k = \frac{2mg(h + Δl_{max})}{(Δl_{max})^2}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ:

$k = \frac{2 \cdot 0,1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot (2,9 \text{ м} + 0,1 \text{ м})}{(0,1 \text{ м})^2} = \frac{2 \cdot 1 \cdot (3,0 \text{ м})}{0,01 \text{ м}^2} = \frac{6}{0,01} \text{ Н/м} = 600 \text{ Н/м}$

Ответ: жесткость пружины равна 600 Н/м.