Номер 1009, страница 192 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Высота свободного конца шнура/пружины над полом: $h$

Удлинение в состоянии равновесия: $Δl = \frac{h}{3}$

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Найти:

$H_1$ — наименьшая высота для случая с резиновым шнуром.

$H_2$ — наименьшая высота для случая с пружиной.

Решение:

Сначала из условия равновесия груза, подвешенного на упругом элементе (шнуре или пружине), найдем связь между массой груза $m$ и жесткостью элемента $k$. Сила тяжести $mg$ уравновешивается силой упругости $F_{упр} = kΔl$:

$mg = kΔl = k\frac{h}{3}$

Отсюда можно выразить как жесткость $k = \frac{3mg}{h}$, так и отношение $\frac{mg}{k} = \frac{h}{3}$. Эти соотношения будут использоваться в обеих частях задачи.

На какую наименьшую высоту над полом надо поднять груз, чтобы после того, как его отпустят ($v_0 = 0$), он коснулся пола?

Эта часть вопроса относится к резиновому шнуру. Для нахождения наименьшей высоты $H_1$ воспользуемся законом сохранения механической энергии. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии на уровне пола.

Начальное состояние: Груз находится на высоте $H_1$ над полом, его скорость равна нулю. Резиновый шнур работает только на растяжение. Если поднять груз на высоту $H_1$, превышающую высоту $h$ (где находится свободный конец шнура), шнур будет провисать, и его энергия упругой деформации будет равна нулю. Полная начальная энергия системы (груз + шнур + Земля) равна потенциальной энергии груза:

$E_1 = mgH_1$

Конечное состояние: Груз касается пола. В этот момент его высота равна нулю, и по условию, он останавливается, то есть его скорость также равна нулю. Шнур при этом растянут на величину, равную первоначальной высоте его свободного конца над полом, то есть на $x = h$. Полная конечная энергия системы равна потенциальной энергии растянутого шнура:

$E_2 = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kh^2$

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$mgH_1 = \frac{1}{2}kh^2$

Подставим в это уравнение выражение для жесткости $k = \frac{3mg}{h}$:

$mgH_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{3mg}{h}\right)h^2 = \frac{3}{2}mgh$

Сократив $mg$ с обеих сторон, получаем:

$H_1 = \frac{3}{2}h$

Эта высота является наименьшей, так как при меньшей начальной высоте грузу не хватит энергии, чтобы достичь пола. Наше неявное предположение о том, что $H_1 \ge h$, выполняется ($1.5h > h$), что подтверждает правильность рассуждений.

Ответ: Наименьшая высота для случая с резиновым шнуром составляет $\frac{3}{2}h$.

Каким будет ответ в задаче при замене резинового шнура легкой пружиной, которую можно и сжимать, и растягивать?

В случае с пружиной, в отличие от резинового шнура, она может как растягиваться, так и сжиматься. Потенциальная энергия деформации пружины $E_{упр} = \frac{1}{2}kx^2$ существует при любом отклонении от положения недеформированного состояния ($y=h$).

Полная потенциальная энергия системы (груз + пружина + Земля) на высоте $y$ над полом равна сумме гравитационной и упругой потенциальных энергий:

$U(y) = mgy + \frac{1}{2}k(h-y)^2$

Здесь $(h-y)$ — это деформация пружины (растяжение при $y<h$ и сжатие при $y>h$).

Мы ищем начальную высоту $H_2$, с которой груз отпускают без начальной скорости, чтобы он остановился, коснувшись пола ($y=0$). По закону сохранения энергии, полная энергия в начальном и конечном состояниях должна быть одинаковой. Так как кинетическая энергия в обоих случаях равна нулю, то должны быть равны и потенциальные энергии: $U(H_2) = U(0)$.

$mgH_2 + \frac{1}{2}k(h-H_2)^2 = mg \cdot 0 + \frac{1}{2}k(h-0)^2$

$mgH_2 + \frac{1}{2}k(h^2 - 2hH_2 + H_2^2) = \frac{1}{2}kh^2$

Упростим выражение, сократив $\frac{1}{2}kh^2$:

$mgH_2 - khH_2 + \frac{1}{2}kH_2^2 = 0$

Вынесем $H_2$ за скобки:

$H_2(mg - kh + \frac{1}{2}kH_2) = 0$

Это уравнение имеет два решения. Первое, $H_2 = 0$, является тривиальным. Второе, нетривиальное решение находим из выражения в скобках:

$mg - kh + \frac{1}{2}kH_2 = 0$

$\frac{1}{2}kH_2 = kh - mg$

$H_2 = \frac{2(kh - mg)}{k} = 2h - \frac{2mg}{k}$

Используем найденное ранее соотношение $\frac{mg}{k} = \frac{h}{3}$:

$H_2 = 2h - 2\left(\frac{h}{3}\right) = 2h - \frac{2h}{3} = \frac{4h}{3}$

Эта высота является наименьшей необходимой для того, чтобы груз коснулся пола. Груз, отпущенный с этой высоты, будет совершать колебания между точками $y=0$ и $y=\frac{4}{3}h$.

Ответ: Наименьшая высота для случая с пружиной составляет $\frac{4}{3}h$.