Номер 1016, страница 193 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Радиус сферы: $R$

Масса шайбы: $m$

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Ускорение свободного падения: $g$

Поверхность сферы: гладкая (трение отсутствует)

Найти:

1. Зависимость модуля силы нормального давления от угла: $N(\alpha)$

2. Высоту отрыва: $h$

Решение:

Рассмотрим движение шайбы по поверхности сферы. На шайбу действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$, направленная перпендикулярно поверхности сферы (по радиусу от центра). Так как поверхность гладкая, сила трения отсутствует.

Выберем систему координат, связанную с центром сферы, и направим радиальную ось к центру сферы. Угол $\alpha$ отсчитывается от вертикали. Запишем второй закон Ньютона для шайбы в проекции на эту радиальную ось:

$mg \cos(\alpha) - N = a_c m$

где $a_c = v^2/R$ — центростремительное ускорение шайбы, $v$ — ее скорость. Таким образом, получаем:

$mg \cos(\alpha) - N = m \frac{v^2}{R}$ (1)

Чтобы найти скорость $v$ как функцию угла $\alpha$, воспользуемся законом сохранения механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии центр сферы. В начальный момент времени (на вершине сферы) $\alpha=0$, $v_0=0$.

Начальная полная механическая энергия шайбы:

$E_0 = K_0 + U_0 = 0 + mgR$

В произвольный момент времени, когда шайба находится в положении, определяемом углом $\alpha$, ее высота над центром сферы равна $h' = R \cos(\alpha)$. Ее полная механическая энергия:

$E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + mgR \cos(\alpha)$

По закону сохранения энергии $E_0 = E$:

$mgR = \frac{1}{2}mv^2 + mgR \cos(\alpha)$

Выразим отсюда квадрат скорости $v^2$:

$\frac{1}{2}mv^2 = mgR - mgR \cos(\alpha) = mgR(1 - \cos(\alpha))$

$v^2 = 2gR(1 - \cos(\alpha))$ (2)

Теперь мы можем решить обе части задачи.

Определите зависимость модуля силы нормального давления шайбы на поверхность сферы от угла α.

Подставим выражение для $v^2$ из уравнения (2) в уравнение (1) для силы нормальной реакции $N$:

$N = mg \cos(\alpha) - m \frac{v^2}{R} = mg \cos(\alpha) - m \frac{2gR(1 - \cos(\alpha))}{R}$

$N = mg \cos(\alpha) - 2mg(1 - \cos(\alpha))$

$N = mg \cos(\alpha) - 2mg + 2mg \cos(\alpha)$

$N = 3mg \cos(\alpha) - 2mg = mg(3 \cos(\alpha) - 2)$

Согласно третьему закону Ньютона, модуль силы нормального давления шайбы на поверхность сферы равен модулю силы нормальной реакции опоры.

Ответ: Зависимость модуля силы нормального давления от угла $\alpha$ имеет вид $N(\alpha) = mg(3 \cos\alpha - 2)$.

На какой высоте она оторвется от сферической поверхности.

Отрыв шайбы от поверхности произойдет в тот момент, когда сила нормальной реакции (и, соответственно, сила давления) обратится в нуль.

$N = 0 \implies mg(3 \cos\alpha_{отр} - 2) = 0$

$3 \cos\alpha_{отр} - 2 = 0$

$\cos\alpha_{отр} = \frac{2}{3}$

Найдем высоту $h$, на которой произойдет отрыв. Высоту будем измерять от горизонтальной поверхности, на которой закреплена сфера. Центр сферы находится на высоте $R$ от этой поверхности. Высота шайбы в момент отрыва будет суммой радиуса и вертикальной проекции радиус-вектора шайбы на вертикальную ось:

$h = R + R \cos\alpha_{отр}$

Подставим найденное значение $\cos\alpha_{отр}$:

$h = R + R \cdot \frac{2}{3} = R(1 + \frac{2}{3}) = \frac{5}{3}R$

Ответ: Шайба оторвется от сферической поверхности на высоте $h = \frac{5}{3}R$ от горизонтальной поверхности.