Номер 1020, страница 194 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$h = 88 \text{ см}$

$m_1 = 2,0 \text{ кг}$

$m_2 = 0,2 \text{ кг}$

Перевод в систему СИ:

$h = 0,88 \text{ м}$

Найти:

$v_2$

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из клина (масса $m_1$) и шайбы (масса $m_2$). Так как по условию клин и горизонтальная поверхность гладкие, силами трения можно пренебречь. Внешние силы, действующие на систему, — это силы тяжести и сила нормальной реакции опоры. В горизонтальном направлении внешние силы отсутствуют, следовательно, для системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось. Поскольку силы трения отсутствуют, а сила тяжести является консервативной, полная механическая энергия системы также сохраняется.

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Нулевой уровень потенциальной энергии примем на уровне горизонтальной поверхности.

В начальный момент времени клин и шайба находятся в состоянии покоя. Начальный импульс системы равен нулю. Начальная полная механическая энергия системы равна потенциальной энергии шайбы, поднятой на высоту $h$: $E_i = m_2 g h$

В конечный момент времени, когда шайба соскальзывает на горизонтальную поверхность, она имеет скорость $v_2$, а клин движется в противоположном направлении со скоростью $v_1$. Будем считать, что поверхность клина у основания плавно переходит в горизонтальную. В этом случае скорость шайбы $v_2$ в момент достижения ею горизонтальной поверхности будет направлена горизонтально.

Запишем закон сохранения импульса для системы в проекции на горизонтальную ось. Направим ось OX в сторону движения шайбы: $0 = m_2 v_2 - m_1 v_1$

Из этого уравнения выразим скорость клина $v_1$: $v_1 = \frac{m_2}{m_1} v_2$

Теперь запишем закон сохранения механической энергии. В конечном состоянии шайба находится на нулевом уровне потенциальной энергии, поэтому ее потенциальная энергия равна нулю. Полная энергия системы равна сумме кинетических энергий шайбы и клина: $E_f = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

Приравнивая начальную и конечную энергию системы, получаем: $m_2 g h = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

Подставим в это уравнение выражение для $v_1$: $m_2 g h = \frac{m_1}{2} \left(\frac{m_2}{m_1} v_2\right)^2 + \frac{m_2 v_2^2}{2}$ $m_2 g h = \frac{m_1 m_2^2 v_2^2}{2 m_1^2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$ $m_2 g h = \frac{m_2^2 v_2^2}{2 m_1} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

Сократим обе части уравнения на $m_2$ и вынесем $\frac{v_2^2}{2}$ за скобки: $g h = \frac{v_2^2}{2} \left(\frac{m_2}{m_1} + 1\right)$ $g h = \frac{v_2^2}{2} \left(\frac{m_2 + m_1}{m_1}\right)$

Выразим из этого уравнения квадрат искомой скорости $v_2$: $v_2^2 = \frac{2 g h m_1}{m_1 + m_2}$

Тогда модуль скорости шайбы равен: $v_2 = \sqrt{\frac{2 g h m_1}{m_1 + m_2}}$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$. $v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,88 \text{ м} \cdot 2,0 \text{ кг}}{2,0 \text{ кг} + 0,2 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{35,2 \text{ (кг \cdot м}^2\text{/с}^2\text{)}}{2,2 \text{ кг}}} = \sqrt{16 \text{ м}^2\text{/с}^2} = 4 \text{ м/с}$

Ответ: модуль скорости движения шайбы равен $4 \text{ м/с}$.