Номер 1023, страница 194 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_1 = 320 \text{ г}$

$m_2 = 80 \text{ г}$

$H = 50 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 0.32 \text{ кг}$

$m_2 = 0.08 \text{ кг}$

$H = 0.5 \text{ м}$

Найти:

$h$ — максимальная высота, на которую поднимется кубик по второму бруску.

Решение:

Поскольку все поверхности гладкие, трение отсутствует. Это означает, что для системы тел сохраняется полная механическая энергия. Также, так как на систему в горизонтальном направлении не действуют внешние силы, сохраняется и её горизонтальный импульс. Решим задачу, разбив процесс на два этапа.

Этап 1: Соскальзывание кубика с первого бруска.

Рассмотрим систему "кубик + первый брусок". В начальный момент система покоится, и кубик находится на высоте $H$. Начальная энергия системы равна потенциальной энергии кубика:

$E_0 = m_2 g H$

Начальный импульс системы равен нулю.

В момент, когда кубик достигает основания бруска (горизонтальной поверхности), он имеет горизонтальную скорость $v_2$, а брусок — горизонтальную скорость $v_1$. Согласно закону сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:

$0 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \implies v_1 = -\frac{m_2}{m_1} v_2$

Знак "минус" показывает, что брусок и кубик движутся в противоположных направлениях. По закону сохранения энергии:

$m_2 g H = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2$

Подставим выражение для $v_1$ в закон сохранения энергии:

$m_2 g H = \frac{1}{2}m_1 \left(-\frac{m_2}{m_1} v_2\right)^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} \frac{m_2^2}{m_1} v_2^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 \left(1 + \frac{m_2}{m_1}\right)$

Отсюда найдем кинетическую энергию $K_2$ кубика в момент, когда он покидает первый брусок:

$K_2 = \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{m_2 g H}{1 + \frac{m_2}{m_1}} = \frac{m_1 m_2 g H}{m_1 + m_2}$

Этап 2: Подъём кубика по второму бруску.

Рассмотрим систему "кубик + второй брусок". Начальное состояние для этого этапа: кубик движется со скоростью $v_2$, а второй брусок покоится. Начальный импульс этой системы:

$p_{нач} = m_2 v_2$

Начальная энергия этой системы (считая потенциальную энергию на горизонтальной поверхности равной нулю) — это кинетическая энергия кубика:

$E_{нач} = K_2 = \frac{1}{2}m_2 v_2^2$

Кубик поднимается по второму бруску на максимальную высоту $h$. В этот момент его вертикальная скорость становится равной нулю, и он движется горизонтально вместе со вторым бруском с некоторой общей скоростью $u$. По закону сохранения импульса для этой системы:

$m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u \implies u = \frac{m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Конечная энергия системы равна сумме потенциальной энергии кубика на высоте $h$ и кинетической энергии совместного движения кубика и бруска:

$E_{кон} = m_2 g h + \frac{1}{2}(m_1 + m_2) u^2$

По закону сохранения энергии для второго этапа:

$E_{нач} = E_{кон} \implies \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = m_2 g h + \frac{1}{2}(m_1 + m_2) u^2$

Подставим выражение для $u$:

$\frac{1}{2}m_2 v_2^2 = m_2 g h + \frac{1}{2}(m_1 + m_2) \left(\frac{m_2 v_2}{m_1 + m_2}\right)^2 = m_2 g h + \frac{1}{2}\frac{m_2^2 v_2^2}{m_1 + m_2}$

Выразим $m_2 g h$:

$m_2 g h = \frac{1}{2}m_2 v_2^2 - \frac{1}{2}\frac{m_2^2 v_2^2}{m_1 + m_2} = \frac{1}{2}m_2 v_2^2 \left(1 - \frac{m_2}{m_1 + m_2}\right) = \frac{1}{2}m_2 v_2^2 \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}\right)$

Вспомним, что кинетическая энергия кубика $\frac{1}{2}m_2 v_2^2$ была найдена на первом этапе: $K_2 = \frac{m_1 m_2 g H}{m_1 + m_2}$. Подставим это выражение:

$m_2 g h = \left(\frac{m_1 m_2 g H}{m_1 + m_2}\right) \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}\right)$

Сократим $m_2 g$ с обеих сторон:

$h = H \frac{m_1^2}{(m_1 + m_2)^2} = H \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}\right)^2$

Подставим числовые значения:

$h = 0.5 \text{ м} \cdot \left(\frac{0.32 \text{ кг}}{0.32 \text{ кг} + 0.08 \text{ кг}}\right)^2 = 0.5 \cdot \left(\frac{0.32}{0.40}\right)^2 = 0.5 \cdot (0.8)^2 = 0.5 \cdot 0.64 = 0.32 \text{ м}$

Переведем ответ в сантиметры: $0.32 \text{ м} = 32 \text{ см}$.

Ответ: максимальная высота, на которую поднимется кубик по второму бруску, равна 32 см.