Номер 1018, страница 193 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса каждого кубика: $m$

Жесткость пружины: $k$

Найти:

Минимальное начальное сжатие пружины $x_0$, при котором нижний кубик оторвется от опоры.

Решение:

Рассмотрим условие, при котором нижний кубик оторвется от опоры. На нижний кубик действуют сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила упругости со стороны пружины $F_{упр}$, направленная вверх (когда пружина растянута). Отрыв произойдет в тот момент, когда сила упругости, действующая на нижний кубик, станет равной его силе тяжести. Сила реакции опоры при этом станет равной нулю.

Пусть $x_1$ — это растяжение пружины, при котором нижний кубик отрывается от опоры. По закону Гука:

$F_{упр} = kx_1$

Условие отрыва:

$kx_1 = mg$

Отсюда находим необходимое растяжение пружины:

$x_1 = \frac{mg}{k}$

Теперь рассмотрим движение системы после того, как нить пережгли. Нас интересует минимальное начальное сжатие $x_0$, которое приведет к отрыву. Это означает, что верхний кубик должен подняться на такую высоту, чтобы растянуть пружину на величину $x_1$. При минимальном сжатии $x_0$ верхний кубик достигнет этой точки подъема с нулевой скоростью (это будет верхняя точка его траектории).

Воспользуемся законом сохранения энергии для системы, состоящей из верхнего кубика, пружины и Земли. Нижний кубик до момента отрыва неподвижен и служит опорой.

Выберем два состояния системы:

1. Начальное состояние: пружина сжата на величину $x_0$, скорость верхнего кубика равна нулю.

2. Конечное состояние: пружина растянута на величину $x_1$, скорость верхнего кубика равна нулю (условие минимальности $x_0$).

Запишем закон сохранения энергии: изменение полной механической энергии системы равно нулю, так как действуют только консервативные силы (сила тяжести и сила упругости).

$\Delta E_k + \Delta E_p = 0$

Изменение кинетической энергии $\Delta E_k = 0$, так как и в начальном, и в конечном состоянии скорость верхнего кубика равна нулю.

Следовательно, изменение потенциальной энергии системы также равно нулю:

$\Delta E_p = \Delta E_{p, грав} + \Delta E_{p, упр} = 0$

Найдем изменение каждой из потенциальных энергий.

При переходе из начального состояния в конечное пружина меняет свою длину на величину $x_0 + x_1$. На это же расстояние поднимается верхний кубик. Значит, изменение его гравитационной потенциальной энергии равно:

$\Delta E_{p, грав} = mg \cdot (x_0 + x_1)$

Изменение потенциальной энергии пружины равно разности ее конечной и начальной энергий:

$\Delta E_{p, упр} = E_{конечн} - E_{начальн} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_0^2}{2}$

Подставляем эти выражения в уравнение сохранения энергии:

$mg(x_0 + x_1) + \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_0^2}{2} = 0$

Подставим ранее найденное значение $x_1 = \frac{mg}{k}$:

$mg(x_0 + \frac{mg}{k}) + \frac{k}{2}(\frac{mg}{k})^2 - \frac{kx_0^2}{2} = 0$

$mgx_0 + \frac{m^2g^2}{k} + \frac{k}{2}\frac{m^2g^2}{k^2} - \frac{kx_0^2}{2} = 0$

$mgx_0 + \frac{m^2g^2}{k} + \frac{m^2g^2}{2k} - \frac{kx_0^2}{2} = 0$

$mgx_0 + \frac{3m^2g^2}{2k} - \frac{kx_0^2}{2} = 0$

Умножим все уравнение на $\frac{2}{k}$, чтобы упростить его:

$\frac{2mg}{k}x_0 + \frac{3m^2g^2}{k^2} - x_0^2 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $x_0$:

$x_0^2 - \frac{2mg}{k}x_0 - \frac{3m^2g^2}{k^2} = 0$

Решим это уравнение. Можно заметить, что его можно разложить на множители. Пусть $y = \frac{mg}{k}$, тогда уравнение принимает вид $x_0^2 - 2yx_0 - 3y^2 = 0$. Корнями являются $x_0 = 3y$ и $x_0 = -y$.

$(x_0 - \frac{3mg}{k})(x_0 + \frac{mg}{k}) = 0$

Так как сжатие пружины $x_0$ является положительной величиной, выбираем единственный физически осмысленный корень:

$x_0 = \frac{3mg}{k}$

Ответ: Минимальное начальное сжатие пружины, при котором нижний кубик оторвется от опоры, равно $x_0 = \frac{3mg}{k}$.