Номер 1012, страница 192 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m = 0,20 \text{ кг}$

$\alpha = 60^\circ$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$ (шарик отпускают без начальной скорости)

Будем считать $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$T - ?$

Решение:

Для решения этой задачи мы воспользуемся законом сохранения механической энергии, чтобы найти скорость шарика в нужный момент, а затем применим второй закон Ньютона для движения по окружности, чтобы найти силу натяжения нити.

1. Найдем скорость шарика $v$, когда нить составляет угол $\alpha$ с вертикалью. За нулевой уровень потенциальной энергии примем начальное горизонтальное положение шарика. Пусть длина нити равна $L$.

Начальная полная механическая энергия системы (в момент, когда нить горизонтальна):

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \frac{mv_0^2}{2} + 0$

Так как шарик отпускают из состояния покоя, его начальная скорость $v_0 = 0$, следовательно, начальная энергия $E_1 = 0$.

Когда нить отклоняется на угол $\alpha$ от вертикали, шарик опускается на некоторую высоту $h$ относительно начального положения. Из геометрических соображений (рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный точкой подвеса, положением шарика и вертикалью), эта высота равна $h = L \cos(\alpha)$.

Полная механическая энергия системы в этот момент:

$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{mv^2}{2} - mgh = \frac{mv^2}{2} - mgL \cos(\alpha)$

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$0 = \frac{mv^2}{2} - mgL \cos(\alpha)$

Отсюда можем выразить квадрат скорости шарика:

$\frac{mv^2}{2} = mgL \cos(\alpha)$

$v^2 = 2gL \cos(\alpha)$

2. Теперь запишем второй закон Ньютона для шарика в тот же момент времени. Шарик движется по дуге окружности. На него действуют две силы: сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити к центру вращения (точке подвеса), и сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз.

Спроецируем силы на радиальное направление (вдоль нити к центру). Сила натяжения $T$ направлена к центру. Проекция силы тяжести на это направление равна $mg \cos(\alpha)$ и направлена от центра. Равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{L}$.

Второй закон Ньютона в проекции на радиальную ось:

$T - mg \cos(\alpha) = ma_c = \frac{mv^2}{L}$

3. Подставим в это уравнение выражение для $v^2$, полученное из закона сохранения энергии:

$T - mg \cos(\alpha) = \frac{m(2gL \cos(\alpha))}{L}$

$T - mg \cos(\alpha) = 2mg \cos(\alpha)$

Теперь выразим искомую силу натяжения нити $T$:

$T = 2mg \cos(\alpha) + mg \cos(\alpha)$

$T = 3mg \cos(\alpha)$

4. Подставим числовые значения из условия задачи:

$m = 0,20 \text{ кг}$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

$\alpha = 60^\circ$, следовательно, $\cos(60^\circ) = 0,5$

$T = 3 \cdot 0,20 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,5 = 3 \cdot 2 \cdot 0,5 = 3,0 \text{ Н}$

Ответ: модуль силы натяжения нити равен $3,0 \text{ Н}$.