Номер 1005, страница 191 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

масса груза, $m = 1.0$ кг

жесткость пружины, $k = 200$ Н/м

начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с

Найти:

максимальную деформацию пружины, $x_{max}$

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения механической энергии. Рассмотрим систему, состоящую из груза, пружины и Земли. Взаимодействия внутри системы описываются консервативными силами (сила тяжести и сила упругости), поэтому полная механическая энергия системы сохраняется.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии положение груза, в котором пружина не деформирована. Это начальное состояние системы (состояние 1).

Энергия системы в начальном состоянии (1):

Поскольку груз отпускают без начальной скорости ($v_1 = 0$), его кинетическая энергия $E_{k1}$ равна нулю.

$E_{k1} = \frac{mv_1^2}{2} = 0$

Так как пружина не деформирована ($x_1 = 0$), ее потенциальная энергия $E_{p1(пружины)}$ также равна нулю.

$E_{p1(пружины)} = \frac{kx_1^2}{2} = 0$

Потенциальная энергия груза в поле тяжести Земли $E_{p1(грав)}$ равна нулю, так как мы выбрали это положение за нулевой уровень ($h_1 = 0$).

$E_{p1(грав)} = mgh_1 = 0$

Полная механическая энергия системы в начальном состоянии:

$E_1 = E_{k1} + E_{p1(пружины)} + E_{p1(грав)} = 0$

Теперь рассмотрим конечное состояние системы (состояние 2), когда груз опускается на максимальное расстояние, и деформация пружины достигает своего максимального значения $x_{max}$. В этой нижней точке траектории скорость груза мгновенно становится равной нулю ($v_2 = 0$) перед сменой направления движения.

Энергия системы в конечном состоянии (2):

Кинетическая энергия груза $E_{k2}$ равна нулю.

$E_{k2} = \frac{mv_2^2}{2} = 0$

Потенциальная энергия растянутой пружины $E_{p2(пружины)}$:

$E_{p2(пружины)} = \frac{kx_{max}^2}{2}$

Груз опустился на высоту $x_{max}$ относительно нулевого уровня, поэтому его координата $h_2 = -x_{max}$. Потенциальная энергия груза в поле тяжести Земли $E_{p2(грав)}$:

$E_{p2(грав)} = mgh_2 = -mgx_{max}$

Полная механическая энергия системы в конечном состоянии:

$E_2 = E_{k2} + E_{p2(пружины)} + E_{p2(грав)} = \frac{kx_{max}^2}{2} - mgx_{max}$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$0 = \frac{kx_{max}^2}{2} - mgx_{max}$

Перенесем второе слагаемое в левую часть:

$mgx_{max} = \frac{kx_{max}^2}{2}$

Мы ищем ненулевое решение ($x_{max} \neq 0$), поэтому можем разделить обе части уравнения на $x_{max}$:

$mg = \frac{kx_{max}}{2}$

Отсюда выражаем максимальную деформацию $x_{max}$:

$x_{max} = \frac{2mg}{k}$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

$x_{max} = \frac{2 \cdot 1.0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²}}{200 \text{ Н/м}} = \frac{20}{200} \text{ м} = 0.1 \text{ м}$

Ответ: максимальная деформация пружины составляет 0.1 м.