Номер 1002, страница 191 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Длина троса: $l$

Масса троса: $m_1$

Масса груза: $m_2$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Модуль скорости движения троса в момент его отрыва от блока: $v$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии, так как по условию сила трения пренебрежимо мала. Система состоит из троса и груза. Рассмотрим два состояния системы: начальное и конечное.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальную ось, проходящую через центр блока.

1. Начальное состояние.

Трос находится в равновесии, значит, с каждой стороны блока свисает часть троса длиной $l/2$. К одному из концов (например, правому) подвешивают груз $m_2$. В этот момент система находится в покое, и ее скорость равна нулю. Полная механическая энергия системы равна ее потенциальной энергии.

Линейная плотность троса: $\rho = m_1/l$.

Масса каждой из свисающих частей троса: $m_{1/2} = \rho \cdot (l/2) = (m_1/l) \cdot (l/2) = m_1/2$.

Центр масс каждой из свисающих частей троса находится на глубине $h_1 = (l/2)/2 = l/4$ под блоком.

Потенциальная энергия троса в начальном состоянии:

$E_{p1,трос} = -\frac{m_1}{2} g \frac{l}{4} - \frac{m_1}{2} g \frac{l}{4} = -\frac{m_1 g l}{4}$

Груз $m_2$ находится на конце троса, то есть на глубине $h_2 = l/2$ под блоком.

Потенциальная энергия груза в начальном состоянии:

$E_{p1,груз} = -m_2 g \frac{l}{2}$

Начальная кинетическая энергия системы равна нулю, так как система начинает движение из состояния покоя: $E_{k1} = 0$.

Полная начальная энергия системы:

$E_1 = E_{k1} + E_{p1,трос} + E_{p1,груз} = 0 - \frac{m_1 g l}{4} - \frac{m_2 g l}{2}$

2. Конечное состояние.

Конечным состоянием является момент, когда весь трос соскользнул с блока. В этот момент весь трос длиной $l$ и груз $m_2$ находятся с одной стороны от блока и движутся с искомой скоростью $v$.

Центр масс всего троса находится на глубине $h_3 = l/2$ под блоком.

Потенциальная энергия троса в конечном состоянии:

$E_{p2,трос} = -m_1 g \frac{l}{2}$

Груз $m_2$ находится на конце троса, то есть на глубине $h_4 = l$ под блоком.

Потенциальная энергия груза в конечном состоянии:

$E_{p2,груз} = -m_2 g l$

Полная масса движущейся системы равна $m_1 + m_2$. Кинетическая энергия системы в конечном состоянии:

$E_{k2} = \frac{(m_1 + m_2) v^2}{2}$

Полная конечная энергия системы:

$E_2 = E_{k2} + E_{p2,трос} + E_{p2,груз} = \frac{(m_1 + m_2) v^2}{2} - \frac{m_1 g l}{2} - m_2 g l$

3. Закон сохранения энергии.

Приравниваем полную энергию системы в начальном и конечном состояниях: $E_1 = E_2$.

$-\frac{m_1 g l}{4} - \frac{m_2 g l}{2} = \frac{(m_1 + m_2) v^2}{2} - \frac{m_1 g l}{2} - m_2 g l$

Выразим отсюда скорость $v$. Перенесем члены с потенциальной энергией в левую часть:

$\frac{(m_1 + m_2) v^2}{2} = \frac{m_1 g l}{2} + m_2 g l - \frac{m_1 g l}{4} - \frac{m_2 g l}{2}$

Сгруппируем слагаемые:

$\frac{(m_1 + m_2) v^2}{2} = g l \left( (\frac{m_1}{2} - \frac{m_1}{4}) + (m_2 - \frac{m_2}{2}) \right)$

$\frac{(m_1 + m_2) v^2}{2} = g l \left( \frac{m_1}{4} + \frac{m_2}{2} \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\frac{(m_1 + m_2) v^2}{2} = g l \frac{m_1 + 2m_2}{4}$

Теперь выразим $v^2$:

$v^2 = \frac{2 g l (m_1 + 2m_2)}{4 (m_1 + m_2)} = \frac{g l (m_1 + 2m_2)}{2 (m_1 + m_2)}$

И найдем модуль скорости $v$:

$v = \sqrt{\frac{g l (m_1 + 2m_2)}{2 (m_1 + m_2)}}$

Ответ: $v = \sqrt{\frac{g l (m_1 + 2m_2)}{2(m_1 + m_2)}}$.