Номер 997, страница 190 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$l = 0,8$ м

$m_1 = 1$ кг

$m_2 = 3$ кг

Стержень легкий ($m_{ст} = 0$)

Найти:

$v$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Так как стержень легкий, его массой и моментом инерции можно пренебречь. Система, состоящая из двух грузов, является замкнутой, а сила тяжести, действующая на грузы, — консервативной. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Закон сохранения полной механической энергии: $E_1 = E_2$, где $E = K + U$ — полная механическая энергия, $K$ — кинетическая энергия, а $U$ — потенциальная энергия.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальную ось вращения, проходящую через середину стержня.

1. Начальное состояние.

Стержень находится в горизонтальном положении. Грузы находятся на одном уровне с осью вращения. Следовательно, их начальная потенциальная энергия равна нулю: $U_1 = 0$.

Систему отпускают из состояния покоя, поэтому начальная кинетическая энергия системы также равна нулю: $K_1 = 0$.

Полная начальная энергия системы: $E_1 = K_1 + U_1 = 0$.

2. Конечное состояние.

Стержень проходит вертикальное положение. Так как $m_2 > m_1$, груз $m_2$ опустится вниз, а груз $m_1$ поднимется вверх. Ось вращения проходит через середину стержня, поэтому каждый груз находится на расстоянии $r = l/2$ от оси.

$r = \frac{l}{2} = \frac{0,8 \text{ м}}{2} = 0,4$ м.

Высота груза $m_1$ над нулевым уровнем будет $h_1 = r$, а высота груза $m_2$ будет $h_2 = -r$.

Потенциальная энергия системы в конечном состоянии:

$U_2 = m_1 g h_1 + m_2 g h_2 = m_1 g r - m_2 g r = (m_1 - m_2)gr = (m_1 - m_2)g\frac{l}{2}$.

В конечном состоянии оба груза движутся с одинаковой по модулю линейной скоростью $v$, так как они жестко связаны стержнем и находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения. Кинетическая энергия системы в конечном состоянии равна сумме кинетических энергий грузов:

$K_2 = \frac{m_1 v^2}{2} + \frac{m_2 v^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2}$.

Полная конечная энергия системы:

$E_2 = K_2 + U_2 = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} + (m_1 - m_2)g\frac{l}{2}$.

3. Применение закона сохранения энергии.

$E_1 = E_2$

$0 = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} + (m_1 - m_2)g\frac{l}{2}$

Перенесем член с потенциальной энергией в левую часть:

$-\left((m_1 - m_2)g\frac{l}{2}\right) = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2}$

$(m_2 - m_1)g\frac{l}{2} = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2}$

Умножим обе части на 2:

$(m_2 - m_1)gl = (m_1 + m_2)v^2$

Выразим квадрат скорости:

$v^2 = \frac{(m_2 - m_1)gl}{m_1 + m_2}$

Отсюда находим модуль скорости:

$v = \sqrt{\frac{(m_2 - m_1)gl}{m_1 + m_2}}$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$.

$v = \sqrt{\frac{(3 \text{ кг} - 1 \text{ кг}) \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,8 \text{ м}}{1 \text{ кг} + 3 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10 \cdot 0,8}{4}} = \sqrt{\frac{16}{4}} = \sqrt{4} = 2$ м/с.

Ответ: модуль скорости движения грузов равен 2 м/с.