Номер 1004, страница 191 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Коэффициент изменения параметра $n = 4$

Найти:

Отношение конечной скорости к начальной $\frac{v_2}{v_1}$ для каждого случая.

Решение:

В основе решения лежит закон сохранения энергии. При выстреле из пружинного пистолета в горизонтальном направлении вся потенциальная энергия сжатой пружины ($E_п$) переходит в кинетическую энергию пули ($E_к$). Мы пренебрегаем силами трения и сопротивлением воздуха.

$E_п = E_к$

Потенциальная энергия пружины с жесткостью $k$, сжатой на величину $x$, равна: $E_п = \frac{kx^2}{2}$

Кинетическая энергия пули массой $m$, движущейся со скоростью $v$, равна: $E_к = \frac{mv^2}{2}$

Приравнивая эти два выражения, получаем: $\frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Из этого равенства можно выразить скорость вылета пули $v$: $v^2 = \frac{kx^2}{m}$ $v = \sqrt{\frac{kx^2}{m}} = x\sqrt{\frac{k}{m}}$

Используем эту формулу для анализа каждого из предложенных случаев.

а) при увеличении сжатия пружины в $n = 4$ раза

Пусть начальная скорость пули $v_1$ соответствует начальному сжатию пружины $x_1$. $v_1 = x_1\sqrt{\frac{k}{m}}$

Новое сжатие пружины $x_2 = n \cdot x_1 = 4x_1$. Жесткость $k$ и масса $m$ остаются неизменными. Новая скорость $v_2$ равна: $v_2 = x_2\sqrt{\frac{k}{m}} = (4x_1)\sqrt{\frac{k}{m}} = 4 \cdot \left(x_1\sqrt{\frac{k}{m}}\right) = 4v_1$

Таким образом, отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1} = 4$.

Ответ: Скорость увеличится в 4 раза.

б) при замене пружины другой, жесткость которой в $n = 4$ раза больше

Пусть начальная скорость пули $v_1$ соответствует начальной жесткости пружины $k_1$. $v_1 = x\sqrt{\frac{k_1}{m}}$

Новая жесткость пружины $k_2 = n \cdot k_1 = 4k_1$. Сжатие $x$ и масса $m$ остаются неизменными. Новая скорость $v_2$ равна: $v_2 = x\sqrt{\frac{k_2}{m}} = x\sqrt{\frac{4k_1}{m}} = \sqrt{4} \cdot \left(x\sqrt{\frac{k_1}{m}}\right) = 2v_1$

Таким образом, отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1} = 2$.

Ответ: Скорость увеличится в 2 раза.

в) при увеличении массы пули в $n = 4$ раза

Пусть начальная скорость пули $v_1$ соответствует начальной массе пули $m_1$. $v_1 = x\sqrt{\frac{k}{m_1}}$

Новая масса пули $m_2 = n \cdot m_1 = 4m_1$. Жесткость $k$ и сжатие $x$ остаются неизменными. Новая скорость $v_2$ равна: $v_2 = x\sqrt{\frac{k}{m_2}} = x\sqrt{\frac{k}{4m_1}} = \frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \left(x\sqrt{\frac{k}{m_1}}\right) = \frac{1}{2}v_1$

Таким образом, отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Скорость уменьшится в 2 раза.