Номер 1000, страница 190 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Длина стержня: $l$

Масса первого груза (в середине): $m_1 = m$

Масса второго груза (на конце): $m_2 = m$

Расстояние от оси вращения до первого груза: $r_1 = l/2$

Расстояние от оси вращения до второго груза: $r_2 = l$

Начальная скорость системы: $v_0 = 0$

Стержень невесомый.

Найти:

$v_1$ - скорость груза в середине стержня в нижней точке

$v_2$ - скорость груза на конце стержня в нижней точке

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения механической энергии, так как система является замкнутой (сила реакции опоры в оси вращения работу не совершает, а сила тяжести является консервативной).

Полная механическая энергия системы (стержень + два груза) сохраняется: $E_н = E_к$, где $E_н$ — начальная энергия системы, а $E_к$ — конечная энергия системы.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальную прямую, проходящую через ось вращения стержня.

1. Начальное состояние:

Стержень расположен горизонтально, система находится в покое. Начальная кинетическая энергия системы равна нулю: $K_н = 0$.

Оба груза находятся на нулевом уровне потенциальной энергии, поэтому начальная потенциальная энергия системы также равна нулю: $П_н = 0$.

Полная начальная энергия системы: $E_н = K_н + П_н = 0$.

2. Конечное состояние:

Стержень занимает вертикальное положение, грузы находятся в самых нижних точках своих траекторий. В этом положении система обладает и кинетической, и потенциальной энергией.

Потенциальная энергия: Первый груз (в середине) опустился на высоту $h_1 = l/2$. Его потенциальная энергия стала $П_{к1} = -mgh_1 = -mg\frac{l}{2}$. Второй груз (на конце) опустился на высоту $h_2 = l$. Его потенциальная энергия стала $П_{к2} = -mgh_2 = -mgl$. Полная потенциальная энергия системы в конечном состоянии: $П_к = П_{к1} + П_{к2} = -mg\frac{l}{2} - mgl = -\frac{3}{2}mgl$.

Кинетическая энергия: Так как стержень является твердым телом, вращающимся вокруг оси, все его точки имеют одинаковую угловую скорость $\omega$. Линейные скорости грузов связаны с угловой скоростью следующими соотношениями: $v_1 = \omega r_1 = \omega \frac{l}{2}$ $v_2 = \omega r_2 = \omega l$ Из этих соотношений видно, что $v_2 = 2v_1$.

Кинетическая энергия первого груза: $K_{к1} = \frac{1}{2}mv_1^2$.

Кинетическая энергия второго груза: $K_{к2} = \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}m(2v_1)^2 = \frac{1}{2}m(4v_1^2) = 2mv_1^2$.

Полная кинетическая энергия системы в конечном состоянии: $K_к = K_{к1} + K_{к2} = \frac{1}{2}mv_1^2 + 2mv_1^2 = \frac{5}{2}mv_1^2$.

Альтернативно, через момент инерции: Момент инерции системы: $I = I_1 + I_2 = m r_1^2 + m r_2^2 = m(\frac{l}{2})^2 + ml^2 = \frac{ml^2}{4} + ml^2 = \frac{5}{4}ml^2$. Кинетическая энергия: $K_к = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{5}{4}ml^2)\omega^2 = \frac{5}{8}ml^2\omega^2$.

Полная конечная энергия системы: $E_к = K_к + П_к = \frac{5}{2}mv_1^2 - \frac{3}{2}mgl$.

3. Применение закона сохранения энергии:

$E_н = E_к$

$0 = \frac{5}{2}mv_1^2 - \frac{3}{2}mgl$

$\frac{5}{2}mv_1^2 = \frac{3}{2}mgl$

Сокращаем $m$ и $\frac{1}{2}$:

$5v_1^2 = 3gl$

$v_1^2 = \frac{3gl}{5}$

$v_1 = \sqrt{\frac{3gl}{5}}$

Теперь найдем скорость второго груза, $v_2$:

$v_2 = 2v_1 = 2\sqrt{\frac{3gl}{5}} = \sqrt{4 \cdot \frac{3gl}{5}} = \sqrt{\frac{12gl}{5}}$

Ответ:

Скорость груза, прикрепленного к середине стержня, в нижней точке траектории равна $v_1 = \sqrt{\frac{3gl}{5}}$.

Скорость груза, прикрепленного к свободному концу стержня, в нижней точке траектории равна $v_2 = \sqrt{\frac{12gl}{5}}$.