Номер 998, страница 190 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

масса шарика, $m = 0,20$ кг

начальная скорость, $v_1 = 0$ (стержень отпускают)

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Найти:

Модуль силы упругости стержня в положении равновесия, $T$ — ?

Решение:

Положение равновесия для шарика на стержне, вращающегося в вертикальной плоскости, — это его нижняя точка траектории. Обозначим длину стержня как $L$.

1. Найдем скорость шарика $v_2$ в положении равновесия, используя закон сохранения механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии примем положение равновесия (нижнюю точку).

В начальном (верхнем) положении шарик находится на высоте $h_1 = 2L$ относительно нижней точки. Его скорость $v_1 = 0$. Полная механическая энергия в этот момент равна:

$E_1 = E_{p1} + E_{k1} = mgh_1 + \frac{1}{2}mv_1^2 = mg(2L) + 0 = 2mgL$

В конечном положении (положении равновесия) высота шарика $h_2 = 0$, а его скорость равна $v_2$. Полная механическая энергия в этот момент:

$E_2 = E_{p2} + E_{k2} = mgh_2 + \frac{1}{2}mv_2^2 = 0 + \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}mv_2^2$

Так как на систему действует только сила тяжести и сила упругости стержня (которая не совершает работы, так как перпендикулярна скорости), полная механическая энергия сохраняется: $E_1 = E_2$.

$2mgL = \frac{1}{2}mv_2^2$

Отсюда можем выразить квадрат скорости в нижней точке:

$v_2^2 = 4gL$

2. Теперь рассмотрим силы, действующие на шарик в положении равновесия, и применим второй закон Ньютона. На шарик действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила упругости (натяжения) стержня $T$, направленная вертикально вверх к центру вращения.

Так как шарик движется по окружности радиусом $L$, равнодействующая этих сил сообщает ему центростремительное ускорение $a_c = \frac{v_2^2}{L}$, направленное к центру окружности (вверх).

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$T - mg = ma_c$

$T - mg = m \frac{v_2^2}{L}$

Подставим в это уравнение выражение для $v_2^2$, найденное из закона сохранения энергии:

$T - mg = m \frac{4gL}{L}$

$T - mg = 4mg$

Выразим силу упругости $T$:

$T = 4mg + mg = 5mg$

3. Вычислим значение силы упругости:

$T = 5 \cdot 0,20 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 1 \cdot 10 \text{ Н} = 10 \text{ Н}$

Ответ: модуль силы упругости, действующей на шарик в момент, когда он проходит положение равновесия, равен 10 Н.