Номер 1014, страница 193 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$l = 50$ см

$h = 20$ см

$l = 0.5$ м
$h = 0.2$ м

Найти:

$\frac{T_{max}}{T_{min}}$

Решение:

Сила натяжения нити $T$ зависит от скорости шарика $v$ и угла отклонения нити от вертикали $\alpha$. Второй закон Ньютона для шарика в проекции на направление нити имеет вид:

$T - mg \cos \alpha = m a_c$, где $a_c = \frac{v^2}{l}$ — центростремительное ускорение.

Отсюда выражение для силы натяжения нити:

$T = mg \cos \alpha + m \frac{v^2}{l}$

Максимальная сила натяжения $T_{max}$ будет в нижней точке траектории. В этой точке скорость шарика максимальна ($v=v_{max}$), а угол отклонения равен нулю ($\alpha=0$, $\cos \alpha = 1$).

$T_{max} = mg + m \frac{v_{max}^2}{l}$

Для нахождения $v_{max}^2$ воспользуемся законом сохранения энергии. Примем нулевой уровень потенциальной энергии в нижней точке траектории. В крайнем положении на высоте $h$ шарик останавливается, и его полная энергия равна потенциальной энергии $E_p = mgh$. В нижней точке вся эта энергия переходит в кинетическую $E_k = \frac{1}{2}mv_{max}^2$.

$mgh = \frac{1}{2}mv_{max}^2$

$v_{max}^2 = 2gh$

Подставим это в формулу для $T_{max}$:

$T_{max} = mg + m \frac{2gh}{l} = mg(1 + \frac{2h}{l})$

Минимальная сила натяжения $T_{min}$ будет в крайних точках траектории, где шарик на мгновение останавливается. В этих точках скорость $v=0$, а угол отклонения от вертикали максимален ($\alpha=\alpha_{max}$).

$T_{min} = mg \cos \alpha_{max} + m \frac{0^2}{l} = mg \cos \alpha_{max}$

Из геометрических соображений можно найти $\cos \alpha_{max}$. Высота подъема $h$ связана с длиной нити $l$ и углом $\alpha_{max}$ следующим образом: $h = l - l \cos \alpha_{max}$.

Отсюда выразим $\cos \alpha_{max}$:

$l \cos \alpha_{max} = l - h$

$\cos \alpha_{max} = \frac{l - h}{l} = 1 - \frac{h}{l}$

Подставим это в формулу для $T_{min}$:

$T_{min} = mg(1 - \frac{h}{l})$

Теперь найдем отношение максимальной и минимальной сил натяжения:

$\frac{T_{max}}{T_{min}} = \frac{mg(1 + \frac{2h}{l})}{mg(1 - \frac{h}{l})} = \frac{1 + \frac{2h}{l}}{1 - \frac{h}{l}}$

Приведем дроби к общему знаменателю и упростим:

$\frac{T_{max}}{T_{min}} = \frac{\frac{l+2h}{l}}{\frac{l-h}{l}} = \frac{l+2h}{l-h}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{T_{max}}{T_{min}} = \frac{50 + 2 \cdot 20}{50 - 20} = \frac{50 + 40}{30} = \frac{90}{30} = 3$

Ответ: модули максимальной и минимальной силы натяжения нити отличаются в 3 раза.