Номер 1021, страница 194 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса шайбы: $m_1$

Масса горки: $m_2$

Начальная скорость шайбы: $v_0$

Начальная скорость горки: 0

Все поверхности гладкие.

Найти:

Максимальная потенциальная энергия шайбы: $E_{p,max}$

Решение:

Рассмотрим систему тел, состоящую из шайбы и горки. Так как по условию задачи все поверхности гладкие, то трение отсутствует. Внешние силы (сила тяжести и сила нормальной реакции опоры), действующие на систему, уравновешивают друг друга в вертикальном направлении. В горизонтальном направлении внешние силы на систему не действуют. Это означает, что для системы выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось и закон сохранения механической энергии.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальную поверхность, на которой находятся тела.

Состояние 1: Начальный момент.

Шайба имеет массу $m_1$ и скорость $v_0$. Горка массой $m_2$ покоится.

Начальный импульс системы в проекции на горизонтальную ось:$P_1 = m_1 v_0 + m_2 \cdot 0 = m_1 v_0$

Начальная механическая энергия системы равна кинетической энергии шайбы:$E_1 = \frac{m_1 v_0^2}{2}$

Состояние 2: Момент достижения шайбой максимальной высоты.

Когда шайба поднимается на максимальную высоту $h_{max}$, ее вертикальная составляющая скорости относительно горки становится равной нулю. В этот момент шайба и горка движутся как единое целое с некоторой общей горизонтальной скоростью $u$.

Импульс системы в этом состоянии:$P_2 = m_1 u + m_2 u = (m_1 + m_2)u$

Механическая энергия системы в состоянии 2 складывается из общей кинетической энергии шайбы и горки и потенциальной энергии шайбы на высоте $h_{max}$:$E_2 = \frac{(m_1 + m_2)u^2}{2} + E_{p,max}$где $E_{p,max} = m_1 g h_{max}$ - искомая максимальная потенциальная энергия.

Применение законов сохранения.

Согласно закону сохранения импульса:$P_1 = P_2$$m_1 v_0 = (m_1 + m_2)u$

Отсюда можно выразить общую скорость $u$:$u = \frac{m_1 v_0}{m_1 + m_2}$

Согласно закону сохранения механической энергии:$E_1 = E_2$$\frac{m_1 v_0^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2)u^2}{2} + E_{p,max}$

Выразим из этого уравнения $E_{p,max}$:$E_{p,max} = \frac{m_1 v_0^2}{2} - \frac{(m_1 + m_2)u^2}{2}$

Теперь подставим в это выражение найденное значение скорости $u$:$E_{p,max} = \frac{m_1 v_0^2}{2} - \frac{m_1 + m_2}{2} \left( \frac{m_1 v_0}{m_1 + m_2} \right)^2$$E_{p,max} = \frac{m_1 v_0^2}{2} - \frac{m_1 + m_2}{2} \cdot \frac{m_1^2 v_0^2}{(m_1 + m_2)^2}$$E_{p,max} = \frac{m_1 v_0^2}{2} - \frac{m_1^2 v_0^2}{2(m_1 + m_2)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(m_1 + m_2)$:$E_{p,max} = \frac{m_1 v_0^2 (m_1 + m_2) - m_1^2 v_0^2}{2(m_1 + m_2)}$$E_{p,max} = \frac{m_1^2 v_0^2 + m_1 m_2 v_0^2 - m_1^2 v_0^2}{2(m_1 + m_2)}$

После сокращения подобных членов в числителе получаем окончательное выражение:$E_{p,max} = \frac{m_1 m_2 v_0^2}{2(m_1 + m_2)}$

Ответ: Максимальная потенциальная энергия, которой будет обладать шайба, поднявшись на горку, равна $E_{p,max} = \frac{m_1 m_2 v_0^2}{2(m_1 + m_2)}$.