Номер 1028, страница 195 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_1 = 3,0 \text{ кг}$

$v_1 = v$ (начальная скорость первого шара)

$v_2 = 0$ (второй шар покоится)

$v_1' = \frac{v}{2}$ (конечная скорость первого шара)

$\alpha = 90^\circ$ (угол между начальным и конечным направлением движения первого шара)

Столкновение абсолютно упругое.

Найти:

$m_2$ - массу второго шара.

Решение:

Поскольку столкновение происходит в системе, на которую не действуют внешние силы, для нее выполняется закон сохранения импульса. Так как столкновение абсолютно упругое, также выполняется закон сохранения механической энергии.

Введем систему координат. Направим ось Ox по направлению начального движения первого шара. Ось Oy направим перпендикулярно оси Ox, в плоскости движения шаров после столкновения.

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

$m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = m_1 \vec{v}_1' + m_2 \vec{v}_2'$

Поскольку второй шар изначально покоился ($\vec{v}_2 = 0$), уравнение принимает вид:

$m_1 \vec{v}_1 = m_1 \vec{v}_1' + m_2 \vec{v}_2'$

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат:

Проекция на ось Ox:

До столкновения: $P_{1x} = m_1 v$, $P_{2x} = 0$.

После столкновения: первый шар движется под углом $90^\circ$ к первоначальному направлению, то есть вдоль оси Oy. Его проекция скорости на Ox равна нулю: $v'_{1x} = 0$. Второй шар будет иметь составляющую скорости $v'_{2x}$.

$m_1 v = m_2 v'_{2x}$ (1)

Проекция на ось Oy:

До столкновения: $P_{1y} = 0$, $P_{2y} = 0$.

После столкновения: скорость первого шара направлена вдоль оси Oy, $v'_{1y} = v_1' = \frac{v}{2}$. Второй шар будет иметь составляющую скорости $v'_{2y}$.

$0 = m_1 v_1' + m_2 v'_{2y} \implies 0 = m_1 \frac{v}{2} + m_2 v'_{2y}$ (2)

Теперь запишем закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 (v_1')^2}{2} + \frac{m_2 (v_2')^2}{2}$

Подставляя известные значения ($v_1 = v, v_2 = 0, v_1' = v/2$):

$\frac{m_1 v^2}{2} = \frac{m_1 (v/2)^2}{2} + \frac{m_2 (v_2')^2}{2}$

Умножим обе части на 2:

$m_1 v^2 = m_1 \frac{v^2}{4} + m_2 (v_2')^2$ (3)

Квадрат скорости второго шара после столкновения равен сумме квадратов его проекций: $(v_2')^2 = (v'_{2x})^2 + (v'_{2y})^2$.

Из уравнений (1) и (2) выразим проекции скорости второго шара:

$v'_{2x} = \frac{m_1 v}{m_2}$

$v'_{2y} = -\frac{m_1 v}{2 m_2}$

Подставим эти выражения в уравнение для $(v_2')^2$:

$(v_2')^2 = \left(\frac{m_1 v}{m_2}\right)^2 + \left(-\frac{m_1 v}{2 m_2}\right)^2 = \frac{m_1^2 v^2}{m_2^2} + \frac{m_1^2 v^2}{4 m_2^2} = \frac{4 m_1^2 v^2 + m_1^2 v^2}{4 m_2^2} = \frac{5 m_1^2 v^2}{4 m_2^2}$

Теперь подставим полученное выражение для $(v_2')^2$ в уравнение сохранения энергии (3):

$m_1 v^2 = \frac{m_1 v^2}{4} + m_2 \left(\frac{5 m_1^2 v^2}{4 m_2^2}\right)$

Перенесем член с $m_1$ в левую часть:

$m_1 v^2 - \frac{m_1 v^2}{4} = \frac{5 m_1^2 v^2}{4 m_2}$

$\frac{3}{4} m_1 v^2 = \frac{5 m_1^2 v^2}{4 m_2}$

Сократим обе части уравнения на $\frac{v^2}{4}$ (так как $v \ne 0$):

$3 m_1 = \frac{5 m_1^2}{m_2}$

Сократим на $m_1$ (так как $m_1 \ne 0$):

$3 = \frac{5 m_1}{m_2}$

Отсюда выражаем массу второго шара $m_2$:

$m_2 = \frac{5}{3} m_1$

Подставим числовое значение массы первого шара:

$m_2 = \frac{5}{3} \cdot 3,0 \text{ кг} = 5,0 \text{ кг}$

Ответ: масса второго шара равна $5,0 \text{ кг}$.