Номер 1030, страница 195 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_1 = 0,80 \text{ кг}$
$m_2 = 0,20 \text{ кг}$
$E_п = 90 \text{ Дж}$

Найти:

$E_{k1} - ?$
$E_{k2} - ?$

Решение:

Рассматриваемая система, состоящая из двух брусков и пружины, является замкнутой в горизонтальном направлении, так как поверхность гладкая (трение отсутствует), а пружина невесома. Это означает, что для системы выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии.

1. Закон сохранения импульса.
Изначально система покоится, поэтому её суммарный импульс равен нулю. После того, как пружина распрямится, бруски начнут двигаться в противоположные стороны со скоростями $v_1$ и $v_2$. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы останется равным нулю. В проекции на горизонтальную ось, направленную вдоль скорости первого бруска: $0 = m_1 v_1 - m_2 v_2$ Отсюда следует, что модули импульсов брусков равны: $p_1 = m_1 v_1 = m_2 v_2 = p_2$ Обозначим модуль импульса каждого бруска как $p$.

2. Закон сохранения энергии.
В начальном состоянии система обладает только потенциальной энергией сжатой пружины $E_п$. Кинетическая энергия брусков равна нулю, так как они неподвижны. $E_{начальная} = E_п$ В конечном состоянии, когда пружина полностью распрямляется (её деформация равна нулю), её потенциальная энергия становится равной нулю. Вся начальная потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию двух брусков $E_{k1}$ и $E_{k2}$. $E_{конечная} = E_{k1} + E_{k2}$ По закону сохранения энергии: $E_п = E_{k1} + E_{k2}$

3. Связь кинетической энергии и импульса.
Кинетическая энергия тела может быть выражена через его импульс по формуле $E_k = \frac{p^2}{2m}$. Применим эту формулу к каждому бруску, учитывая, что модули их импульсов равны $p$: $E_{k1} = \frac{p^2}{2m_1}$
$E_{k2} = \frac{p^2}{2m_2}$
Из этих двух соотношений можно найти отношение кинетических энергий: $\frac{E_{k1}}{E_{k2}} = \frac{p^2 / (2m_1)}{p^2 / (2m_2)} = \frac{m_2}{m_1}$ Видно, что кинетические энергии обратно пропорциональны массам: более лёгкий брусок получит большую кинетическую энергию.

4. Решение системы уравнений.
Мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $E_{k1}$ и $E_{k2}$: $\begin{cases} E_{k1} + E_{k2} = E_п \\ \frac{E_{k1}}{E_{k2}} = \frac{m_2}{m_1} \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $E_{k1}$ через $E_{k2}$: $E_{k1} = E_{k2} \frac{m_2}{m_1}$ Подставим это выражение в первое уравнение: $E_{k2} \frac{m_2}{m_1} + E_{k2} = E_п$
$E_{k2} \left( \frac{m_2}{m_1} + 1 \right) = E_п$
$E_{k2} \left( \frac{m_2 + m_1}{m_1} \right) = E_п$
Отсюда выражаем $E_{k2}$: $E_{k2} = E_п \frac{m_1}{m_1 + m_2}$
Подставляем числовые значения: $E_{k2} = 90 \text{ Дж} \cdot \frac{0,80 \text{ кг}}{0,80 \text{ кг} + 0,20 \text{ кг}} = 90 \cdot \frac{0,80}{1,00} = 72 \text{ Дж}$

Теперь находим кинетическую энергию первого бруска: $E_{k1} = E_п - E_{k2} = 90 \text{ Дж} - 72 \text{ Дж} = 18 \text{ Дж}$

Ответ: кинетическая энергия первого бруска $E_{k1} = 18 \text{ Дж}$, кинетическая энергия второго бруска $E_{k2} = 72 \text{ Дж}$.