Номер 1029, страница 195 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса каждого из двух покоящихся шаров $m = 2$ кг.

Начальные скорости двух шаров $v_1 = v_2 = 0$.

Конечная скорость налетающего шара $v'_{3} = 0$.

Удар является абсолютно упругим.

Все шары имеют одинаковые радиусы $R$.

Найти:

Массу третьего (налетающего) шара $M$.

Решение:

Рассмотрим систему из трех шаров. Так как поверхность гладкая, трение отсутствует, и система является замкнутой в горизонтальной плоскости. Для абсолютно упругого удара выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии.

Введем систему координат. Пусть ось $OX$ совпадает с направлением движения третьего шара. Ось $OY$ перпендикулярна ей и проходит через центры двух покоящихся шаров в начальный момент. Так как шары касаются друг друга, а третий шар движется по прямой, проходящей через точку их касания, то центры покоящихся шаров (назовем их 1 и 2) находятся в точках с координатами $C_1(0, R)$ и $C_2(0, -R)$.

Третий шар (назовем его 3) движется вдоль оси $OX$. В момент столкновения он одновременно коснется обоих шаров. Найдем координату центра третьего шара в этот момент. Расстояние между центром третьего шара $C_3(x_3, 0)$ и центром первого шара $C_1(0, R)$ будет равно $2R$.

Из уравнения расстояния между двумя точками:

$(x_3 - 0)^2 + (0 - R)^2 = (2R)^2$

$x_3^2 + R^2 = 4R^2$

$x_3^2 = 3R^2 \implies x_3 = -R\sqrt{3}$ (шар налетает слева).

Сила взаимодействия при ударе гладких шаров направлена вдоль линии, соединяющей их центры. Вектор, соединяющий центры $C_3$ и $C_1$, образует с осью $OX$ угол $\alpha$. Тангенс этого угла равен:

$\tan \alpha = \frac{|y_1 - y_3|}{|x_1 - x_3|} = \frac{R}{R\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Следовательно, $\alpha = 30^\circ$.

Из соображений симметрии, шар 2 получит импульс, направленный под углом $-\alpha = -30^\circ$ к оси $OX$. Скорости шаров 1 и 2 после удара будут равны по величине. Обозначим их как $u$.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось $OX$. Начальный импульс системы равен импульсу третьего шара: $P_{ix} = Mv$, где $v$ — начальная скорость третьего шара.

Конечный импульс системы — это сумма импульсов шаров 1 и 2, так как третий шар по условию останавливается ($v'_3 = 0$).

$P_{fx} = mu \cos \alpha + mu \cos(-\alpha) = 2mu \cos \alpha$

Приравнивая начальный и конечный импульсы:

$Mv = 2mu \cos(30^\circ) = 2mu \frac{\sqrt{3}}{2} = mu\sqrt{3}$ (1)

Теперь запишем закон сохранения кинетической энергии. Начальная энергия:

$E_{ki} = \frac{Mv^2}{2}$

Конечная энергия:

$E_{kf} = \frac{mu^2}{2} + \frac{mu^2}{2} = mu^2$

Приравнивая энергии:

$\frac{Mv^2}{2} = mu^2$ (2)

Получили систему из двух уравнений с неизвестными $M$, $v$ и $u$. Нам нужно найти $M$. Выразим $v$ из уравнения (1):

$v = \frac{mu\sqrt{3}}{M}$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$\frac{M}{2} \left( \frac{mu\sqrt{3}}{M} \right)^2 = mu^2$

$\frac{M}{2} \frac{m^2 u^2 \cdot 3}{M^2} = mu^2$

Сократим $m$ и $u^2$ (так как $u \neq 0$, иначе столкновения не было бы):

$\frac{3m}{2M} = 1$

$3m = 2M$

Отсюда находим массу третьего шара $M$:

$M = \frac{3}{2}m$

Подставим известное значение массы $m=2$ кг:

$M = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$ кг.

Ответ: масса третьего шара равна 3 кг.