Номер 1033, страница 196 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_1 = 300 \text{ г} = 0.3 \text{ кг}$
$m_2 = 600 \text{ г} = 0.6 \text{ кг}$
$m_0 = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
$k = 500 \text{ Н/м}$
$v_0 = 12 \text{ м/с}$

Найти:

$x_{max}$

Решение:

Решение задачи можно разделить на два последовательных этапа. Первый этап — абсолютно упругое столкновение шарика с первым бруском. Второй этап — последующее движение системы из двух брусков, соединенных пружиной.

Сначала рассмотрим абсолютно упругое столкновение шарика массой $m_0$ и первого бруска массой $m_1$. Поскольку столкновение является кратковременным процессом, можно считать, что за время удара пружина не успевает деформироваться, а второй брусок $m_2$ остается неподвижным. Для абсолютно упругого удара выполняются одновременно закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии. Скорость первого бруска $u_1$ сразу после столкновения определяется по формуле для центрального упругого удара:

$u_1 = \frac{2 m_0}{m_0 + m_1} v_0$

Подставим числовые значения в СИ:

$u_1 = \frac{2 \cdot 0.1 \text{ кг}}{0.1 \text{ кг} + 0.3 \text{ кг}} \cdot 12 \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{0.2}{0.4} \cdot 12 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Далее рассмотрим движение системы из двух брусков и пружины. Начальным моментом для этой системы является момент сразу после столкновения, когда первый брусок имеет скорость $u_1$, а второй покоится. Максимальная деформация пружины $x_{max}$ будет достигнута тогда, когда скорости обоих брусков станут одинаковыми. В этот момент они движутся как единое целое с некоторой скоростью $v_c$.

Поскольку на систему двух брусков в горизонтальном направлении не действуют внешние силы, для нее выполняется закон сохранения импульса. Приравняем импульс системы в момент сразу после удара и в момент максимальной деформации:

$m_1 u_1 + m_2 \cdot 0 = (m_1 + m_2) v_c$

Отсюда найдем скорость $v_c$:

$v_c = \frac{m_1}{m_1 + m_2} u_1 = \frac{0.3 \text{ кг}}{0.3 \text{ кг} + 0.6 \text{ кг}} \cdot 6 \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{0.3}{0.9} \cdot 6 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 2 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Теперь воспользуемся законом сохранения механической энергии для системы «брусок 1 — брусок 2 — пружина». Сравним энергию системы в те же два момента времени. Начальная энергия (сразу после удара) — это кинетическая энергия первого бруска. Конечная энергия (в момент максимальной деформации) — это сумма кинетической энергии двух брусков, движущихся вместе, и потенциальной энергии сжатой пружины.

$\frac{m_1 u_1^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2) v_c^2}{2} + \frac{k x_{max}^2}{2}$

Умножим обе части на 2 и выразим $k x_{max}^2$:

$k x_{max}^2 = m_1 u_1^2 - (m_1 + m_2) v_c^2$

Подставим числовые значения:

$500 \cdot x_{max}^2 = 0.3 \cdot (6)^2 - (0.3 + 0.6) \cdot (2)^2$

$500 \cdot x_{max}^2 = 0.3 \cdot 36 - 0.9 \cdot 4$

$500 \cdot x_{max}^2 = 10.8 - 3.6$

$500 \cdot x_{max}^2 = 7.2$

Отсюда найдем квадрат максимальной деформации:

$x_{max}^2 = \frac{7.2}{500} = 0.0144 \text{ м}^2$

Тогда максимальная деформация равна:

$x_{max} = \sqrt{0.0144 \text{ м}^2} = 0.12 \text{ м}$

Ответ: $0.12 \text{ м}$.