Номер 1031, страница 196 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_1 = 90$ г

$m_2 = 160$ г

$\Delta l_1 = 70$ мм

$m_1 = 0.09$ кг
$m_2 = 0.16$ кг
$\Delta l_1 = 0.07$ м

Найти:

$\Delta l_{max}$

Решение:

Задачу можно решить, рассмотрев два последовательных этапа движения системы.

На первом этапе, после того как отпускают первый брусок, а второй удерживают на месте, происходит превращение потенциальной энергии сжатой пружины в кинетическую энергию первого бруска. В начальный момент этого этапа вся энергия системы (брусок $m_1$ + пружина) сосредоточена в потенциальной энергии пружины, сжатой на величину $\Delta l_1$. Обозначим жесткость пружины как $k$.

$E_{нач1} = \frac{k (\Delta l_1)^2}{2}$

В конце первого этапа, когда пружина полностью распрямляется (ее деформация равна нулю), вся начальная потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию первого бруска, который к этому моменту приобретает скорость $v_1$. Второй брусок все еще неподвижен. Согласно закону сохранения энергии:

$\frac{k (\Delta l_1)^2}{2} = \frac{m_1 v_1^2}{2}$

Из этого соотношения следует, что $m_1 v_1^2 = k (\Delta l_1)^2$.

На втором этапе отпускают второй брусок. С этого момента система, состоящая из двух брусков и пружины, является замкнутой, так как поверхность гладкая и внешние горизонтальные силы на систему не действуют. Для этой системы будут выполняться законы сохранения импульса и энергии.

Максимальная деформация пружины $\Delta l_{max}$ (в данном случае это будет растяжение) будет достигнута в тот момент, когда скорости брусков сравняются. В этот момент они будут двигаться как единое целое с общей скоростью $v_c$.

Применим закон сохранения импульса для второго этапа. Начальный импульс системы (в момент, когда отпускают второй брусок) равен импульсу первого бруска:

$P_{нач2} = m_1 v_1 + m_2 \cdot 0 = m_1 v_1$

Конечный импульс системы (в момент максимального растяжения пружины):

$P_{кон2} = (m_1 + m_2) v_c$

Из равенства $P_{нач2} = P_{кон2}$ находим общую скорость:

$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) v_c \implies v_c = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}$

Теперь применим закон сохранения энергии для второго этапа. Начальная энергия системы (в момент, когда отпускают второй брусок) — это кинетическая энергия первого бруска, так как пружина не деформирована:

$E_{нач2} = \frac{m_1 v_1^2}{2}$

Конечная энергия системы (в момент максимального растяжения пружины) — это сумма кинетической энергии двух брусков, движущихся вместе, и потенциальной энергии растянутой пружины:

$E_{кон2} = \frac{(m_1 + m_2) v_c^2}{2} + \frac{k (\Delta l_{max})^2}{2}$

Приравнивая $E_{нач2}$ и $E_{кон2}$ и подставляя выражение для $v_c$, получаем:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2)}{2} \left( \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} \right)^2 + \frac{k (\Delta l_{max})^2}{2}$

$\frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{m_1^2 v_1^2}{2(m_1 + m_2)} + \frac{k (\Delta l_{max})^2}{2}$

Выразим член с искомой деформацией:

$\frac{k (\Delta l_{max})^2}{2} = \frac{m_1 v_1^2}{2} - \frac{m_1^2 v_1^2}{2(m_1 + m_2)} = \frac{m_1 v_1^2}{2} \left( 1 - \frac{m_1}{m_1 + m_2} \right) = \frac{m_1 v_1^2}{2} \left( \frac{m_2}{m_1 + m_2} \right)$

Теперь вспомним соотношение, полученное на первом этапе: $m_1 v_1^2 = k (\Delta l_1)^2$. Подставим его в последнее уравнение:

$\frac{k (\Delta l_{max})^2}{2} = \frac{k (\Delta l_1)^2}{2} \left( \frac{m_2}{m_1 + m_2} \right)$

Сократив $\frac{k}{2}$, получим:

$(\Delta l_{max})^2 = (\Delta l_1)^2 \frac{m_2}{m_1 + m_2}$

Отсюда находим искомую максимальную деформацию:

$\Delta l_{max} = \Delta l_1 \sqrt{\frac{m_2}{m_1 + m_2}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\Delta l_{max} = 0.07 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{0.16 \text{ кг}}{0.09 \text{ кг} + 0.16 \text{ кг}}} = 0.07 \cdot \sqrt{\frac{0.16}{0.25}} = 0.07 \cdot \sqrt{0.64} = 0.07 \cdot 0.8 = 0.056 \text{ м}$

Переводя в миллиметры, получаем $0.056 \text{ м} = 56 \text{ мм}$.

Ответ: максимальная деформация пружины в процессе дальнейшего движения составит 56 мм.