Номер 1026, страница 195 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_2 = 0,6$ кг

Найти:

$m_1$

Решение:

Пусть $m_1$ и $m_2$ — массы первого и второго шаров соответственно. Пусть первый шар падает с высоты $h$. По закону сохранения энергии его скорость $v_1$ непосредственно перед столкновением с покоящимся вторым шаром ($v_2 = 0$) определяется из соотношения:

$m_1gh = \frac{m_1v_1^2}{2} \implies v_1 = \sqrt{2gh}$

После упругого центрального удара шары приобретают скорости $v_1'$ и $v_2'$. По условию, они поднимаются на одинаковую высоту $h'$. Это означает, что их кинетическая энергия после удара переходит в потенциальную, и модули их скоростей сразу после удара равны. Обозначим этот модуль скорости как $v'$.

Для первого шара: $\frac{m_1(v_1')^2}{2} = m_1gh' \implies |v_1'| = \sqrt{2gh'} = v'$

Для второго шара: $\frac{m_2(v_2')^2}{2} = m_2gh' \implies |v_2'| = \sqrt{2gh'} = v'$

Таким образом, $|v_1'| = |v_2'| = v'$. Чтобы шары после столкновения двигались, их скорости должны быть направлены в разные стороны (первый шар отскакивает назад, второй летит вперед). Поэтому, если выбрать положительное направление по направлению движения первого шара до удара, то $v_2' = v'$, а $v_1' = -v'$.

Рассмотрим систему шаров в момент удара. Так как удар упругий, выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии.

1. Закон сохранения импульса:

$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$

Подставляя $v_2 = 0$, $v_1' = -v'$ и $v_2' = v'$, получаем:

$m_1v_1 = m_1(-v') + m_2v' \implies m_1v_1 = v'(m_2 - m_1)$ (1)

2. Закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{m_1(v_1')^2}{2} + \frac{m_2(v_2')^2}{2}$

Подставляя $v_2 = 0$, $v_1' = -v'$ и $v_2' = v'$, получаем:

$m_1v_1^2 = m_1(-v')^2 + m_2(v')^2 \implies m_1v_1^2 = v'^2(m_1 + m_2)$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2). Чтобы найти соотношение масс, исключим скорости $v_1$ и $v'$. Возведем уравнение (1) в квадрат:

$(m_1v_1)^2 = (v'(m_2 - m_1))^2 \implies m_1^2v_1^2 = v'^2(m_2 - m_1)^2$

Разделим это выражение на уравнение (2):

$\frac{m_1^2v_1^2}{m_1v_1^2} = \frac{v'^2(m_2 - m_1)^2}{v'^2(m_1 + m_2)}$

$m_1 = \frac{(m_2 - m_1)^2}{m_1 + m_2}$

Преобразуем полученное равенство:

$m_1(m_1 + m_2) = (m_2 - m_1)^2$

$m_1^2 + m_1m_2 = m_2^2 - 2m_1m_2 + m_1^2$

Сократим $m_1^2$ в обеих частях:

$m_1m_2 = m_2^2 - 2m_1m_2$

$3m_1m_2 = m_2^2$

Поскольку масса второго шара $m_2$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $m_2$:

$3m_1 = m_2$

Отсюда выражаем искомую массу первого шара $m_1$:

$m_1 = \frac{m_2}{3}$

Подставим числовое значение массы второго шара:

$m_1 = \frac{0,6 \text{ кг}}{3} = 0,2 \text{ кг}$

Ответ: масса первого шара равна 0,2 кг.