Номер 1022, страница 194 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса бруска $m_1 = 0,95 \text{ кг}$
Масса шайбы $m_2 = 50 \text{ г} = 0,05 \text{ кг}$
Радиус углубления $R = 40 \text{ см} = 0,4 \text{ м}$

Найти:

Максимальная высота подъема шайбы $h_{max}$.

Решение:

Задачу можно решить, рассмотрев два последовательных этапа движения.

Этап 1: Движение шайбы до нижней точки углубления.
Пока шайба скатывается по левой части бруска, брусок прижат к неподвижной стенке и остается в покое. Поскольку все поверхности гладкие (трение отсутствует), для шайбы выполняется закон сохранения механической энергии. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии на уровне горизонтальной поверхности. Начальная энергия шайбы в верхней точке (на высоте $R$) является чисто потенциальной:$E_{начальная} = m_2 g R$.

В нижней точке углубления (на высоте 0) вся потенциальная энергия перейдет в кинетическую энергию. Пусть $v_2$ — скорость шайбы в этот момент.$E_{конечная} = \frac{1}{2}m_2 v_2^2$.

По закону сохранения энергии для шайбы:$m_2 g R = \frac{1}{2}m_2 v_2^2$.

Этап 2: Движение шайбы от нижней точки до максимальной высоты на правой стороне.
Как только шайба проходит нижнюю точку, брусок отходит от стенки и может свободно двигаться по горизонтальной поверхности. Теперь рассмотрим систему тел «брусок + шайба». В горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы, поэтому для нее будет выполняться закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось. Также, поскольку трения нет, для системы выполняется закон сохранения полной механической энергии.

В начальный момент этого этапа (шайба в нижней точке) импульс системы равен импульсу шайбы, так как брусок покоится:$p_x = m_2 v_2$.Полная механическая энергия системы равна кинетической энергии шайбы (потенциальная энергия равна нулю):$E = \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = m_2 g R$.

В конечный момент этого этапа шайба достигает максимальной высоты $h_{max}$ на правой стороне бруска. В этот момент ее вертикальная скорость относительно бруска равна нулю. Это означает, что шайба и брусок движутся как единое целое с некоторой общей горизонтальной скоростью $U$.

Импульс системы в конечном состоянии:$p'_x = (m_1 + m_2)U$.

Полная механическая энергия системы в конечном состоянии:$E' = \frac{1}{2}(m_1+m_2)U^2 + m_2 g h_{max}$.

Применим законы сохранения:
1. Закон сохранения импульса: $p_x = p'_x$
$m_2 v_2 = (m_1 + m_2)U$

2. Закон сохранения энергии: $E = E'$
$m_2 g R = \frac{1}{2}(m_1+m_2)U^2 + m_2 g h_{max}$

Из закона сохранения импульса выразим общую скорость $U$:
$U = \frac{m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Подставим это выражение в уравнение закона сохранения энергии:
$m_2 g R = \frac{1}{2}(m_1+m_2)\left(\frac{m_2 v_2}{m_1 + m_2}\right)^2 + m_2 g h_{max}$
$m_2 g R = \frac{1}{2}\frac{m_2^2 v_2^2}{m_1 + m_2} + m_2 g h_{max}$

Из первого этапа мы знаем, что $\frac{1}{2}m_2 v_2^2 = m_2 g R$. Подставим это в преобразованное уравнение энергии:
$m_2 g R = \frac{m_2}{m_1+m_2} \left(\frac{1}{2}m_2 v_2^2\right) + m_2 g h_{max}$
$m_2 g R = \frac{m_2}{m_1+m_2} (m_2 g R) + m_2 g h_{max}$

Сократим обе части уравнения на $m_2 g$ (так как $m_2 > 0$ и $g > 0$):
$R = \frac{m_2 R}{m_1+m_2} + h_{max}$

Теперь выразим искомую максимальную высоту $h_{max}$:
$h_{max} = R - \frac{m_2 R}{m_1+m_2} = R \left(1 - \frac{m_2}{m_1+m_2}\right) = R \left(\frac{m_1+m_2-m_2}{m_1+m_2}\right)$
$h_{max} = R \frac{m_1}{m_1+m_2}$

Подставим числовые значения:
$h_{max} = 0,4 \text{ м} \cdot \frac{0,95 \text{ кг}}{0,95 \text{ кг} + 0,05 \text{ кг}} = 0,4 \text{ м} \cdot \frac{0,95}{1,00} = 0,4 \cdot 0,95 \text{ м} = 0,38 \text{ м}$

Ответ: максимальная высота, на которую поднимется шайба на правой половине бруска, равна $0,38 \text{ м}$ или $38 \text{ см}$.