Номер 986, страница 187 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Длина бруска, $l = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Ширина шероховатого участка, $S = 2l$

Коэффициент трения скольжения, $\mu = 0.36$

Конечная скорость, $v = 0$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Начальную скорость бруска, $v_0$.

Решение:

Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии. В данном случае единственной силой, совершающей работу, является сила трения, так как сила тяжести и сила нормальной реакции перпендикулярны направлению движения.

$\Delta K = A_{тр}$

Изменение кинетической энергии равно $\Delta K = K_{конечная} - K_{начальная}$. Начальная кинетическая энергия бруска $K_{начальная} = \frac{mv_0^2}{2}$, где $m$ – масса бруска. Конечная кинетическая энергия $K_{конечная} = 0$, так как брусок останавливается. Работа силы трения $A_{тр}$ отрицательна, так как она направлена против движения. Поэтому $|A_{тр}| = \frac{mv_0^2}{2}$.

Рассчитаем работу силы трения. Движение бруска по шероховатому участку можно разделить на два этапа.

1. Брусок въезжает на шероховатый участок. Этот этап продолжается до тех пор, пока весь брусок не окажется на шероховатой поверхности. За это время передний край бруска проходит расстояние $l$. Сила трения на этом этапе переменная и зависит от длины $x$ части бруска, находящейся на шероховатой поверхности. Поскольку брусок однородный, сила трения пропорциональна $x$: $F_{тр}(x) = \mu N_x = \mu \left(\frac{x}{l}mg\right) = \frac{\mu mgx}{l}$. Работа на этом этапе:$|A_{тр1}| = \int_0^l F_{тр}(x)dx = \int_0^l \frac{\mu mgx}{l}dx = \frac{\mu mg}{l} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^l = \frac{\mu mgl^2}{2l} = \frac{1}{2}\mu mgl$.

2. Брусок, полностью находясь на шероховатом участке, продолжает движение до остановки. Согласно условию, брусок останавливается у правого края участка, то есть его передний край проходит по шероховатой поверхности общее расстояние $2l$. Так как на первом этапе было пройдено расстояние $l$, на втором этапе брусок проходит оставшееся расстояние $l$. На этом этапе сила трения постоянна, так как весь брусок скользит по шероховатой поверхности: $F_{тр} = \mu mg$. Работа на этом этапе:$|A_{тр2}| = F_{тр} \cdot l = \mu mgl$.

Полная работа силы трения равна сумме работ на двух этапах:$|A_{тр}| = |A_{тр1}| + |A_{тр2}| = \frac{1}{2}\mu mgl + \mu mgl = \frac{3}{2}\mu mgl$.

Приравниваем начальную кинетическую энергию к полной работе силы трения:$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{3}{2}\mu mgl$.

Сокращая массу $m$ и множитель $1/2$ в обеих частях уравнения, получаем:$v_0^2 = 3\mu gl$.

Отсюда находим начальную скорость:$v_0 = \sqrt{3\mu gl}$.

Подставим числовые значения:$v_0 = \sqrt{3 \cdot 0.36 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.3 \text{ м}} = \sqrt{3.24 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 1.8 \text{ м/с}$.

Ответ: $1.8 \text{ м/с}$.