Номер 984, страница 187 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$l = 25 \text{ см}$

$μ = 0,30$

Перевод в систему СИ:

$l = 0,25 \text{ м}$

Найти:

$v_0$ - ?

Решение:

Для того чтобы однородная линейка упала со стола, ее центр масс должен переместиться за край стола. Поскольку линейка однородная, ее центр масс находится посередине, на расстоянии $l/2$ от края. Таким образом, линейка должна проскользить расстояние $s = l/2$. Минимальная начальная скорость $v_0$ — это такая скорость, при которой линейка остановится ($v_f = 0$), когда ее центр масс окажется точно на краю стола.

Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на него.

$ΔK = A_{всех сил}$

На линейку в горизонтальном направлении действует только сила трения скольжения, которая совершает отрицательную работу. Изменение кинетической энергии равно:

$ΔK = K_f - K_i = 0 - \frac{mv_0^2}{2} = -\frac{mv_0^2}{2}$

где $m$ — масса линейки, $v_0$ — ее начальная скорость.

Работа силы трения $A_{тр}$ равна $ΔK$.

$A_{тр} = -\frac{mv_0^2}{2}$

Сила трения, согласно условию, пропорциональна длине части линейки, находящейся на столе. Когда вся линейка на столе, ее вес равен $mg$, а сила трения $F_{тр_{max}} = μmg$. Пропорциональность означает, что $F_{тр}(x) = \frac{μmg}{l} \cdot (l-x)$, где $x$ — это длина свешивающейся части линейки.

Работа силы трения является переменной, так как сила трения уменьшается по мере соскальзывания линейки. Работу найдем через интегрирование:

$A_{тр} = \int_0^{s} \vec{F}_{тр} \cdot d\vec{x} = \int_0^{l/2} -F_{тр}(x)dx$

$A_{тр} = -\int_0^{l/2} \frac{μmg}{l}(l-x)dx$

Вычислим интеграл:

$A_{тр} = -\frac{μmg}{l} \int_0^{l/2} (l-x)dx = -\frac{μmg}{l} \left[ lx - \frac{x^2}{2} \right]_0^{l/2}$

$A_{тр} = -\frac{μmg}{l} \left( (l \cdot \frac{l}{2} - \frac{(l/2)^2}{2}) - (0-0) \right) = -\frac{μmg}{l} \left( \frac{l^2}{2} - \frac{l^2}{8} \right)$

$A_{тр} = -\frac{μmg}{l} \left( \frac{4l^2 - l^2}{8} \right) = -\frac{μmg}{l} \frac{3l^2}{8} = -\frac{3}{8}μmgl$

Теперь приравняем изменение кинетической энергии и работу силы трения:

$-\frac{mv_0^2}{2} = -\frac{3}{8}μmgl$

Масса $m$ сокращается:

$\frac{v_0^2}{2} = \frac{3}{8}μgl$

$v_0^2 = \frac{3}{4}μgl$

$v_0 = \sqrt{\frac{3}{4}μgl}$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

$v_0 = \sqrt{\frac{3}{4} \cdot 0,30 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,25 \text{ м}} = \sqrt{0,75 \cdot 0,30 \cdot 2,5} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_0 = \sqrt{0,5625} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 0,75 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $v_0 = 0,75 \text{ м/с}$.