Номер 1048, страница 199 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m = 5$ кг

$k = 15$ Н/м

$\mu = 0,1$

Все данные представлены в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Найти:

$v_{min}$

Решение:

Пусть первому бруску сообщают начальную скорость $v$ в направлении второго бруска. Первый брусок начнет двигаться и сжимать пружину. Движению первого бруска будет препятствовать сила трения и сила упругости пружины.

Второй брусок начнет двигаться в тот момент, когда сила упругости, действующая на него со стороны сжатой пружины, станет равной максимальной силе трения покоя.

Максимальная сила трения покоя для второго бруска равна $F_{тр.макс} = \mu N$. Так как плита горизонтальна, сила нормальной реакции $N$ равна силе тяжести $mg$. Следовательно, $F_{тр.макс} = \mu mg$.

Сила упругости пружины определяется законом Гука: $F_{упр} = kx$, где $x$ — сжатие пружины.

Условие начала движения второго бруска: $F_{упр} \ge F_{тр.макс}$, то есть $kx \ge \mu mg$.

Минимальное сжатие пружины $x_{min}$, необходимое для сдвига второго бруска, соответствует равенству $kx_{min} = \mu mg$. Отсюда $x_{min} = \frac{\mu mg}{k}$.

Для нахождения минимальной начальной скорости $v_{min}$ первого бруска применим закон изменения механической энергии. Минимальная скорость $v_{min}$ — это такая скорость, при которой первый брусок остановится ($v_1 = 0$) точно в момент, когда сжатие пружины достигнет величины $x_{min}$.

Изменение полной механической энергии системы (брусок 1 + пружина) равно работе неконсервативных сил (силы трения).

Начальная энергия системы: $E_{нач} = \frac{mv_{min}^2}{2}$ (кинетическая энергия первого бруска, пружина не деформирована).

Конечная энергия системы (в момент максимального сжатия $x_{min}$): $E_{кон} = \frac{kx_{min}^2}{2}$ (потенциальная энергия пружины, брусок остановился).

Работа силы трения, действующей на первый брусок при его движении на расстояние $x_{min}$: $A_{тр} = -F_{тр} \cdot x_{min} = -\mu mg x_{min}$.

Запишем закон изменения энергии: $E_{кон} - E_{нач} = A_{тр}$.

$\frac{kx_{min}^2}{2} - \frac{mv_{min}^2}{2} = -\mu mg x_{min}$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $v_{min}$:

$\frac{mv_{min}^2}{2} = \frac{kx_{min}^2}{2} + \mu mg x_{min}$

Подставим в это уравнение выражение для $x_{min} = \frac{\mu mg}{k}$:

$\frac{mv_{min}^2}{2} = \frac{k}{2} \left(\frac{\mu mg}{k}\right)^2 + \mu mg \left(\frac{\mu mg}{k}\right)$

Упростим правую часть:

$\frac{mv_{min}^2}{2} = \frac{k\mu^2 m^2 g^2}{2k^2} + \frac{\mu^2 m^2 g^2}{k} = \frac{\mu^2 m^2 g^2}{2k} + \frac{2\mu^2 m^2 g^2}{2k} = \frac{3\mu^2 m^2 g^2}{2k}$

Сократим $\frac{m}{2}$ в обеих частях уравнения:

$v_{min}^2 = \frac{3\mu^2 m g^2}{k}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти скорость:

$v_{min} = \sqrt{\frac{3\mu^2 m g^2}{k}} = \mu g \sqrt{\frac{3m}{k}}$

Подставим числовые значения:

$v_{min} = 0,1 \cdot 10 \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 5}{15}} = 1 \cdot \sqrt{\frac{15}{15}} = 1 \cdot \sqrt{1} = 1$ м/с.

Ответ: 1 м/с.