Номер 1049, страница 200 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_1 = 3$ кг

$m_2 = 2$ кг

$k = 0,2 \frac{\text{кН}}{\text{м}}$

$\mu_1 = 0,2$

$\mu_2 = 0,3$

Перевод в СИ:

$k = 0,2 \frac{\text{кН}}{\text{м}} = 0,2 \cdot 10^3 \frac{\text{Н}}{\text{м}} = 200 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Найти:

Минимальную начальную деформацию пружины $x_0$.

Решение:

Решение задачи можно разделить на два этапа. Примем ускорение свободного падения $g = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

1. Движение первого бруска до распрямления пружины.
Изначально пружина сжата на величину $x_0$. Когда первый брусок отпускают, он начинает двигаться под действием силы упругости. Запишем закон сохранения энергии для системы "первый брусок — пружина" с учетом работы силы трения.
Начальная энергия системы (брусок покоится, пружина сжата): $E_{нач} = \frac{kx_0^2}{2}$.
Конечная энергия (пружина распрямилась, брусок имеет скорость $v_1$): $E_{кон} = \frac{m_1v_1^2}{2}$.
Работа силы трения, действующей на первый брусок, на пути $x_0$: $A_{тр1} = -F_{тр1}x_0 = -\mu_1 m_1 g x_0$.
По теореме об изменении механической энергии: $E_{кон} - E_{нач} = A_{тр1}$.
$\frac{m_1v_1^2}{2} - \frac{kx_0^2}{2} = -\mu_1 m_1 g x_0$.
Отсюда кинетическая энергия первого бруска в момент, когда пружина не деформирована:
$\frac{m_1v_1^2}{2} = \frac{kx_0^2}{2} - \mu_1 m_1 g x_0 \quad (1)$.

2. Растяжение пружины до начала движения второго бруска.
Второй брусок сдвинется с места, когда сила упругости растягиваемой пружины станет равной максимальной силе трения покоя второго бруска.
$F_{упр} = F_{тр2,макс} \implies kx_{растяж} = \mu_2 m_2 g$.
Минимальное растяжение пружины, необходимое для сдвига второго бруска:
$x_{растяж} = \frac{\mu_2 m_2 g}{k}$.
Чтобы найти минимальную начальную деформацию $x_0$, рассмотрим предельный случай: кинетической энергии первого бруска, полученной на первом этапе, хватает ровно на то, чтобы растянуть пружину на величину $x_{растяж}$, и в этот момент скорость первого бруска обращается в ноль.
Применим снова теорему об изменении энергии для системы "первый брусок — пружина" на этом втором этапе.
Начальная энергия (пружина не деформирована, брусок имеет скорость $v_1$): $E'_{нач} = \frac{m_1v_1^2}{2}$.
Конечная энергия (пружина растянута на $x_{растяж}$, брусок остановился): $E'_{кон} = \frac{kx_{растяж}^2}{2}$.
Работа силы трения на пути $x_{растяж}$: $A'_{тр1} = -\mu_1 m_1 g x_{растяж}$.
$E'_{кон} - E'_{нач} = A'_{тр1} \implies \frac{kx_{растяж}^2}{2} - \frac{m_1v_1^2}{2} = -\mu_1 m_1 g x_{растяж}$.
Отсюда необходимая кинетическая энергия в начале второго этапа:
$\frac{m_1v_1^2}{2} = \frac{kx_{растяж}^2}{2} + \mu_1 m_1 g x_{растяж} \quad (2)$.

3. Нахождение $x_0$.
Приравниваем правые части уравнений (1) и (2):
$\frac{kx_0^2}{2} - \mu_1 m_1 g x_0 = \frac{kx_{растяж}^2}{2} + \mu_1 m_1 g x_{растяж}$.
$\frac{k}{2}(x_0^2 - x_{растяж}^2) = \mu_1 m_1 g (x_0 + x_{растяж})$.
$\frac{k}{2}(x_0 - x_{растяж})(x_0 + x_{растяж}) = \mu_1 m_1 g (x_0 + x_{растяж})$.
Сокращая на $(x_0 + x_{растяж})$ (так как это слагаемое не равно нулю), получаем:
$\frac{k}{2}(x_0 - x_{растяж}) = \mu_1 m_1 g \implies x_0 = x_{растяж} + \frac{2\mu_1 m_1 g}{k}$.
Подставляем выражение для $x_{растяж}$:
$x_0 = \frac{\mu_2 m_2 g}{k} + \frac{2\mu_1 m_1 g}{k} = \frac{g(2\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2)}{k}$.

Подставим числовые значения:
$x_0 = \frac{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (2 \cdot 0,2 \cdot 3 \text{ кг} + 0,3 \cdot 2 \text{ кг})}{200 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = \frac{10 \cdot (1,2 + 0,6)}{200} \text{ м} = \frac{10 \cdot 1,8}{200} \text{ м} = \frac{18}{200} \text{ м} = 0,09 \text{ м}$.
$x_0 = 9$ см.

Ответ: минимальная начальная деформация пружины равна $0,09$ м или $9$ см.