Номер 1046, страница 199 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:
Масса бруска: $m = 0,5$ кг
Синус угла наклона плоскости: $\sin \alpha = 0,6$
Жесткость пружины: $k = 64$ Н/м
Коэффициент трения: $\mu = 0,8$
Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с²

Найти:
Начальную скорость бруска: $v_0$

Решение:

Данная задача решается с помощью закона изменения механической энергии. Изменение полной механической энергии системы (брусок-пружина-Земля) равно работе неконсервативных сил, в данном случае — работе силы трения.

$ \Delta E = W_{тр} $

Пусть начальное положение бруска, где пружина не деформирована, является нулевым уровнем потенциальной энергии ($h=0$, $x=0$).

Начальная энергия системы (в момент, когда бруску сообщили скорость $v_0$): $ E_{нач} = E_к + E_п + E_{упр} = \frac{mv_0^2}{2} + 0 + 0 = \frac{mv_0^2}{2} $

Конечная энергия системы (когда брусок вернулся в начальную точку и остановился): $ E_{кон} = 0 $ (так как скорость равна нулю и потенциальная энергия тоже равна нулю).

Следовательно, изменение энергии: $ \Delta E = E_{кон} - E_{нач} = 0 - \frac{mv_0^2}{2} = -\frac{mv_0^2}{2} $.

Работа силы трения $W_{тр}$ совершается на всем пути движения бруска. Брусок сначала движется вверх на некоторое расстояние $x_{max}$, а затем возвращается обратно на то же расстояние. Общий путь, пройденный бруском, равен $2x_{max}$. Сила трения постоянна по модулю и равна $F_{тр} = \mu N$, где $N$ — сила нормальной реакции опоры.

Из второго закона Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную наклонной плоскости, следует, что $N = mg \cos \alpha$.

Найдем $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества: $ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (0,6)^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8 $

Тогда сила трения: $ F_{тр} = \mu mg \cos \alpha $.

Работа силы трения отрицательна, так как сила трения всегда направлена против движения: $ W_{тр} = -F_{тр} \cdot S_{общ} = -(\mu mg \cos \alpha) \cdot (2x_{max}) $

Приравняем изменение энергии и работу силы трения: $ -\frac{mv_0^2}{2} = -2\mu mg x_{max} \cos \alpha $ $ \frac{mv_0^2}{2} = 2\mu mg x_{max} \cos \alpha \quad (1) $

Чтобы найти $v_0$, нам необходимо определить максимальное смещение $x_{max}$. Для этого рассмотрим движение бруска из верхней точки (где его скорость равна нулю) обратно в начальное положение.

Энергия системы в верхней точке (на расстоянии $x_{max}$ от начала): $ E_{верх} = E_п + E_{упр} = mg h + \frac{kx_{max}^2}{2} = mgx_{max}\sin\alpha + \frac{kx_{max}^2}{2} $

При движении вниз работа силы трения на пути $x_{max}$ равна $W_{тр, вниз} = -\mu mg x_{max} \cos \alpha$.

Закон изменения энергии для этого участка пути: $ E_{кон} - E_{верх} = W_{тр, вниз} $ $ 0 - (mgx_{max}\sin\alpha + \frac{kx_{max}^2}{2}) = -\mu mg x_{max} \cos \alpha $ $ mgx_{max}\sin\alpha + \frac{kx_{max}^2}{2} = \mu mg x_{max} \cos \alpha $

Так как $x_{max} \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x_{max}$: $ mg\sin\alpha + \frac{kx_{max}}{2} = \mu mg \cos \alpha $

Выразим отсюда $x_{max}$: $ \frac{kx_{max}}{2} = \mu mg \cos \alpha - mg\sin\alpha = mg(\mu \cos \alpha - \sin \alpha) $ $ x_{max} = \frac{2mg}{k}(\mu \cos \alpha - \sin \alpha) $

Подставим числовые значения: $ x_{max} = \frac{2 \cdot 0,5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²}}{64 \text{ Н/м}}(0,8 \cdot 0,8 - 0,6) = \frac{10}{64}(0,64 - 0,6) = \frac{10}{64} \cdot 0,04 = \frac{0,4}{64} = \frac{1}{160} $ м.

Теперь вернемся к уравнению (1) и подставим в него найденное значение $x_{max}$: $ \frac{mv_0^2}{2} = 2\mu mg x_{max} \cos \alpha $ $ v_0^2 = \frac{4\mu mg x_{max} \cos \alpha}{m} = 4\mu g x_{max} \cos \alpha $ $ v_0^2 = 4 \cdot 0,8 \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot \frac{1}{160} \text{ м} \cdot 0,8 = 32 \cdot \frac{1}{160} \cdot 0,8 = \frac{32}{160} \cdot 0,8 = 0,2 \cdot 0,8 = 0,16 \text{ (м/с)²} $

$ v_0 = \sqrt{0,16} = 0,4 $ м/с.

Ответ: модуль скорости, которую надо сообщить бруску, равен 0,4 м/с.