Номер 1047, страница 199 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

масса шарика: $m$

высота, с которой брошен шарик: $H$

глубина, на которую шарик уходит в песок: $h$

начальная скорость шарика: $v_0$

Найти:

модуль средней силы сопротивления песка: $F_{сопр}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии в общем виде (теоремой об изменении полной механической энергии). Согласно этой теореме, изменение полной механической энергии системы равно работе всех неконсервативных сил, действующих на систему.

$\Delta E_{мех} = A_{нк}$

Рассмотрим движение шарика от начальной точки на высоте $H$ до полной остановки в песке на глубине $h$.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность песка. Ось OY направим вертикально вверх.

Начальная полная механическая энергия шарика $E_1$ (в момент броска с высоты $H$) складывается из его кинетической и потенциальной энергии:

$E_1 = E_{к1} + E_{п1} = \frac{mv_0^2}{2} + mgH$

Конечная полная механическая энергия шарика $E_2$ (в момент остановки на глубине $h$ в песке) также состоит из кинетической и потенциальной энергии. В конечной точке скорость шарика равна нулю ($v_2 = 0$), а координата по оси OY равна $-h$.

$E_2 = E_{к2} + E_{п2} = 0 + mg(-h) = -mgh$

Изменение полной механической энергии равно:

$\Delta E_{мех} = E_2 - E_1 = (-mgh) - (\frac{mv_0^2}{2} + mgH) = -mgh - \frac{mv_0^2}{2} - mgH$

Единственной неконсервативной силой, совершающей работу на рассматриваемом участке, является средняя сила сопротивления песка $F_{сопр}$. Эта сила действует только при движении шарика в песке на расстоянии $h$. Работа этой силы $A_{сопр}$ отрицательна, так как вектор силы сопротивления направлен противоположно вектору перемещения.

$A_{нк} = A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot h$

Теперь приравняем изменение полной механической энергии к работе неконсервативной силы:

$\Delta E_{мех} = A_{сопр}$

$-mgh - \frac{mv_0^2}{2} - mgH = -F_{сопр} \cdot h$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от знаков минуса:

$mgH + mgh + \frac{mv_0^2}{2} = F_{сопр} \cdot h$

Вынесем $mg$ за скобки в левой части:

$mg(H+h) + \frac{mv_0^2}{2} = F_{сопр} \cdot h$

Выразим искомую силу сопротивления $F_{сопр}$:

$F_{сопр} = \frac{mg(H+h)}{h} + \frac{mv_0^2}{2h}$

Это выражение можно также представить в виде:

$F_{сопр} = mg(\frac{H}{h} + 1) + \frac{mv_0^2}{2h}$

Ответ: $F_{сопр} = mg(1 + \frac{H}{h}) + \frac{mv_0^2}{2h}$