Номер 1043, страница 198 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

масса бруска $m = 3,0$ кг

жесткость пружины $k = 54$ Н/м

коэффициент трения $\mu = 0,30$

ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$ (примем это значение для удобства вычислений)

Найти:

минимальную начальную скорость $v_{min}$

Решение:

Чтобы брусок вернулся в начальную точку, ему нужно сообщить такую минимальную скорость $v_{min}$, чтобы он, двигаясь от стенки, достиг максимального растяжения пружины $x_{max}$, а затем, двигаясь обратно к стенке, остановился точно в начальном положении ($x=0$).

Рассмотрим движение бруска с точки максимального растяжения пружины $x_{max}$ обратно в начальное положение. В этом случае начальная скорость равна нулю, и конечная скорость (в начальной точке) тоже должна быть равна нулю для условия минимальной сообщенной скорости. Воспользуемся законом сохранения энергии с учетом работы силы трения:

$\Delta E = A_{тр}$

Изменение полной механической энергии системы (конечная минус начальная) равно работе неконсервативных сил (силы трения).Начальная энергия системы в точке $x_{max}$ — это потенциальная энергия растянутой пружины: $E_{нач} = \frac{1}{2}kx_{max}^2$. Кинетическая энергия равна нулю.Конечная энергия в точке $x=0$ равна нулю, так как пружина не деформирована и брусок остановился: $E_{кон} = 0$.Работа силы трения на пути $x_{max}$ равна $A_{тр} = -F_{тр} \cdot x_{max} = -\mu N x_{max}$. Так как брусок движется по горизонтальной поверхности, сила нормальной реакции $N$ равна силе тяжести $mg$, то есть $N=mg$. Тогда работа силы трения: $A_{тр} = -\mu mg x_{max}$.

Подставим все в уравнение закона сохранения энергии:

$E_{кон} - E_{нач} = A_{тр}$

$0 - \frac{1}{2}kx_{max}^2 = -\mu mg x_{max}$

Поскольку $x_{max} \ne 0$, мы можем разделить обе части на $x_{max}$:

$\frac{1}{2}kx_{max} = \mu mg$

Отсюда находим максимальное растяжение пружины:

$x_{max} = \frac{2\mu mg}{k}$

Теперь рассмотрим весь процесс движения: от начальной точки с начальной скоростью $v_{min}$ до точки максимального растяжения $x_{max}$ и обратно до полной остановки в начальной точке.Начальная энергия системы — это кинетическая энергия бруска: $E_{нач} = \frac{1}{2}mv_{min}^2$.Конечная энергия системы равна нулю: $E_{кон} = 0$.Сила трения совершает работу на всем пути, который равен $2x_{max}$ (туда и обратно). Общая работа силы трения:

$A_{тр, общ} = -F_{тр} \cdot (2x_{max}) = -2\mu mg x_{max}$

Снова применяем закон сохранения энергии для всего процесса:

$E_{кон} - E_{нач} = A_{тр, общ}$

$0 - \frac{1}{2}mv_{min}^2 = -2\mu mg x_{max}$

$\frac{1}{2}mv_{min}^2 = 2\mu mg x_{max}$

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $x_{max}$:

$\frac{1}{2}mv_{min}^2 = 2\mu mg \left(\frac{2\mu mg}{k}\right) = \frac{4\mu^2 m^2 g^2}{k}$

Теперь выразим $v_{min}$:

$v_{min}^2 = \frac{8\mu^2 m^2 g^2}{mk} = \frac{8\mu^2 m g^2}{k}$

$v_{min} = \sqrt{\frac{8\mu^2 m g^2}{k}} = \mu g \sqrt{\frac{8m}{k}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v_{min} = 0,30 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \sqrt{\frac{8 \cdot 3,0 \text{ кг}}{54 \text{ Н/м}}} = 3 \cdot \sqrt{\frac{24}{54}} = 3 \cdot \sqrt{\frac{4}{9}} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: модуль минимальной скорости равен $2,0$ м/с.