Номер 1075, страница 204 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m = 2$ кг

$k = 250$ Н/м

$F = 5$ Н

Все данные уже представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$h$ - максимальная высота подъема груза.

Решение:

В начальный момент груз находится в состоянии покоя. Это означает, что сила тяжести, действующая на него вниз, уравновешена силой упругости резинового шнура, направленной вверх. Обозначим начальное растяжение шнура как $x_1$.

Условие равновесия в начальный момент:

$mg = kx_1$

где $g$ — ускорение свободного падения (примем $g \approx 10$ м/с$^2$).

Когда на груз начинает действовать постоянная сила $F$, направленная вверх, он начинает двигаться с нулевой начальной скоростью. Груз поднимется на максимальную высоту $h$, где его скорость снова станет равной нулю.

Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Изменение кинетической энергии тела равно суммарной работе всех сил, действующих на тело.

$\Delta E_k = A_{общ}$

Поскольку начальная и конечная скорости груза равны нулю, изменение его кинетической энергии также равно нулю:

$\Delta E_k = \frac{mv_{кон}^2}{2} - \frac{mv_{нач}^2}{2} = 0 - 0 = 0$

Следовательно, суммарная работа всех сил равна нулю:

$A_{общ} = 0$

Работа совершается тремя силами: приложенной силой $F$, силой тяжести $mg$ и силой упругости шнура $F_{упр}$.

$A_{общ} = A_F + A_g + A_{упр} = 0$

Найдем работу каждой из сил при подъеме груза на высоту $h$:

1. Работа силы $F$ положительна, так как ее направление совпадает с направлением перемещения:

$A_F = Fh$

2. Работа силы тяжести отрицательна, так как она направлена противоположно перемещению:

$A_g = -mgh$

3. Работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии шнура, взятому с обратным знаком. Начальная потенциальная энергия шнура $E_{p1} = \frac{kx_1^2}{2}$. При подъеме на высоту $h$ растяжение шнура уменьшается и становится равным $x_2 = x_1 - h$. Конечная потенциальная энергия $E_{p2} = \frac{k(x_1 - h)^2}{2}$.

$A_{упр} = E_{p1} - E_{p2} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{k(x_1 - h)^2}{2}$

Подставим выражения для работы всех сил в общее уравнение:

$Fh - mgh + \left( \frac{kx_1^2}{2} - \frac{k(x_1 - h)^2}{2} \right) = 0$

Раскроем скобки:

$Fh - mgh + \frac{kx_1^2}{2} - \frac{k(x_1^2 - 2x_1h + h^2)}{2} = 0$

$Fh - mgh + \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_1^2}{2} + kx_1h - \frac{kh^2}{2} = 0$

$Fh - mgh + kx_1h - \frac{kh^2}{2} = 0$

Теперь воспользуемся условием начального равновесия $mg = kx_1$ и подставим его в полученное уравнение:

$Fh - (kx_1)h + kx_1h - \frac{kh^2}{2} = 0$

Члены $-kx_1h$ и $+kx_1h$ взаимно уничтожаются:

$Fh - \frac{kh^2}{2} = 0$

Вынесем $h$ за скобки:

$h \left( F - \frac{kh}{2} \right) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $h=0$ (тривиальное решение, соответствующее начальной точке) и $F - \frac{kh}{2} = 0$. Нас интересует второе решение, так как груз поднимается.

$F = \frac{kh}{2}$

Отсюда выражаем максимальную высоту подъема $h$:

$h = \frac{2F}{k}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{2 \cdot 5 \, \text{Н}}{250 \, \text{Н/м}} = \frac{10}{250} \, \text{м} = \frac{1}{25} \, \text{м} = 0.04 \, \text{м}$

Таким образом, груз поднимется на максимальную высоту 4 см.

Ответ: $0.04$ м.