Номер 1077, страница 204 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

масса муфточки: $m$
длина недеформированной пружины: $l_0$
жесткость пружины: $k$
конечная угловая скорость: $\omega$

Найти:

Работу $A$.

Решение:

Согласно теореме об изменении полной механической энергии, работа $A$, совершенная внешними силами для раскручивания системы, равна изменению полной механической энергии системы. Так как раскручивание происходит медленно, работа внешних сил идет на изменение кинетической и потенциальной энергии системы.

$A = \Delta E = E_{конечная} - E_{начальная}$

В начальном состоянии система покоится ($\omega_0=0$). Пружина не деформирована, поэтому ее длина равна $l_0$. Начальная кинетическая энергия муфточки и потенциальная энергия пружины равны нулю.

$E_{начальная} = E_{к0} + E_{п0} = 0 + 0 = 0$

В конечном состоянии система вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$. Под действием центробежной силы муфточка смещается от оси вращения, и пружина растягивается. Муфточка устанавливается на некотором равновесном расстоянии $r$ от оси вращения.

Для нахождения этого расстояния запишем условие равновесия сил, действующих на муфточку в горизонтальном направлении (во вращающейся системе отсчета). Сила упругости $F_{упр}$ уравновешивает центробежную силу $F_{ц}$:

$F_{упр} = F_{ц}$

Сила упругости, стремящаяся вернуть муфточку к оси вращения, равна $F_{упр} = k(r - l_0)$, где $(r-l_0)$ — удлинение пружины.

Центробежная сила, действующая на муфточку, равна $F_{ц} = m a_ц = m \omega^2 r$.

Приравнивая силы, получаем уравнение для $r$:

$k(r - l_0) = m \omega^2 r$

Решим это уравнение относительно $r$:

$kr - kl_0 = m \omega^2 r$
$kr - m \omega^2 r = kl_0$
$r(k - m \omega^2) = kl_0$
$r = \frac{kl_0}{k - m \omega^2}$

Полная механическая энергия системы в конечном состоянии $E_{конечная}$ равна сумме кинетической энергии муфточки $E_к$ и потенциальной энергии упругой деформации пружины $E_п$.

$E_к = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (\omega r)^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 r^2$

$E_п = \frac{1}{2} k (r - l_0)^2$

Следовательно, работа $A$ равна:

$A = E_{конечная} = E_к + E_п = \frac{1}{2} m \omega^2 r^2 + \frac{1}{2} k (r - l_0)^2$

Чтобы упростить это выражение, воспользуемся ранее полученным условием равновесия $k(r - l_0) = m \omega^2 r$. Подставим его во второе слагаемое:

$A = \frac{1}{2} m \omega^2 r^2 + \frac{1}{2} (r - l_0) \cdot [k(r - l_0)] = \frac{1}{2} m \omega^2 r^2 + \frac{1}{2} (r - l_0) \cdot (m \omega^2 r)$

Вынесем за скобки общий множитель $\frac{1}{2} m \omega^2 r$:

$A = \frac{1}{2} m \omega^2 r [r + (r - l_0)] = \frac{1}{2} m \omega^2 r (2r - l_0)$

Теперь подставим в это упрощенное выражение найденное значение для радиуса $r = \frac{kl_0}{k - m \omega^2}$:

$A = \frac{1}{2} m \omega^2 \left( \frac{kl_0}{k - m \omega^2} \right) \left( 2 \cdot \frac{kl_0}{k - m \omega^2} - l_0 \right)$

Вынесем $l_0$ из второй скобки для дальнейшего упрощения:

$A = \frac{1}{2} m \omega^2 \frac{kl_0^2}{k - m \omega^2} \left( \frac{2k}{k - m \omega^2} - 1 \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$A = \frac{1}{2} m \omega^2 \frac{kl_0^2}{k - m \omega^2} \left( \frac{2k - (k - m \omega^2)}{k - m \omega^2} \right) = \frac{1}{2} m \omega^2 \frac{kl_0^2}{k - m \omega^2} \left( \frac{k + m \omega^2}{k - m \omega^2} \right)$

Перемножив дроби, получим окончательный ответ:

$A = \frac{m \omega^2 k l_0^2 (k + m \omega^2)}{2(k - m \omega^2)^2}$

Ответ: $A = \frac{m \omega^2 k l_0^2 (k + m \omega^2)}{2(k - m \omega^2)^2}$.