Номер 399, страница 89 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса первого груза: $m_1$

Масса второго груза: $m_2$

Длина пружины в первом случае (растяжение): $l_1$

Длина пружины во втором случае (сжатие): $l_2$

Найти:

Длину недеформированной пружины: $l_0$

Решение:

Обозначим искомую длину недеформированной пружины как $l_0$ и её жесткость как $k$.

Рассмотрим первый случай, показанный на рисунке 91, а. Система подвешена за верхний груз $m_1$. Пружина растянута силой тяжести нижнего груза $m_2$. Поскольку система находится в равновесии, сила упругости пружины $F_{упр1}$ уравновешивает силу тяжести груза $m_2$.

Сила тяжести, действующая на груз $m_2$, равна $F_{т2} = m_2 g$.

По закону Гука, сила упругости равна $F_{упр1} = k \cdot \Delta l_1$, где $\Delta l_1 = l_1 - l_0$ — это удлинение пружины. Из условия равновесия $F_{упр1} = F_{т2}$ получаем первое уравнение:

$k(l_1 - l_0) = m_2 g$ (1)

Рассмотрим второй случай, показанный на рисунке 91, б. Система стоит на нижнем грузе $m_2$. Пружина сжата силой тяжести верхнего груза $m_1$. В состоянии равновесия сила упругости пружины $F_{упр2}$ уравновешивает силу тяжести груза $m_1$.

Сила тяжести, действующая на груз $m_1$, равна $F_{т1} = m_1 g$.

По закону Гука, сила упругости в этом случае равна $F_{упр2} = k \cdot \Delta l_2$, где $\Delta l_2 = l_0 - l_2$ — это сжатие пружины. Из условия равновесия $F_{упр2} = F_{т1}$ получаем второе уравнение:

$k(l_0 - l_2) = m_1 g$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $l_0$ и $k$. Чтобы найти $l_0$, разделим почленно уравнение (1) на уравнение (2). Это позволит нам исключить неизвестную жесткость $k$ и ускорение свободного падения $g$.

$\frac{k(l_1 - l_0)}{k(l_0 - l_2)} = \frac{m_2 g}{m_1 g}$

После сокращения $k$ и $g$ получаем:

$\frac{l_1 - l_0}{l_0 - l_2} = \frac{m_2}{m_1}$

Теперь решим это уравнение относительно $l_0$. Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$m_1(l_1 - l_0) = m_2(l_0 - l_2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$m_1 l_1 - m_1 l_0 = m_2 l_0 - m_2 l_2$

Сгруппируем члены, содержащие $l_0$, в одной части уравнения, а остальные члены — в другой:

$m_1 l_1 + m_2 l_2 = m_1 l_0 + m_2 l_0$

Вынесем $l_0$ за скобки в правой части:

$m_1 l_1 + m_2 l_2 = l_0(m_1 + m_2)$

Наконец, выразим искомую длину недеформированной пружины $l_0$:

$l_0 = \frac{m_1 l_1 + m_2 l_2}{m_1 + m_2}$

Ответ: Длина недеформированной пружины равна $l_0 = \frac{m_1 l_1 + m_2 l_2}{m_1 + m_2}$.