Номер 401, страница 90 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_1 = 180 \text{ г}$

$m_2 = 420 \text{ г}$

$l_1 = 22,8 \text{ см}$

$l_2 = 26,0 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 0,18 \text{ кг}$

$m_2 = 0,42 \text{ кг}$

$l_1 = 0,228 \text{ м}$

$l_2 = 0,260 \text{ м}$

Найти:

$k$ — жесткость пружины.

Решение:

Когда к пружине подвешивают груз, она растягивается. В состоянии равновесия сила упругости пружины $F_{упр}$ уравновешивает силу тяжести $F_{тяж}$, действующую на груз. Согласно закону Гука, сила упругости пропорциональна удлинению пружины: $F_{упр} = k \cdot \Delta l$. Сила тяжести равна $F_{тяж} = m \cdot g$.

Пусть $l_0$ — начальная длина пружины (без груза), а $k$ — её жесткость. Тогда удлинение пружины $\Delta l$ равно разности между её конечной длиной $l$ и начальной $l_0$, то есть $\Delta l = l - l_0$.

Запишем уравнения равновесия для двух случаев:

1. С грузом массой $m_1$:

$F_{упр1} = F_{тяж1}$

$k \cdot (l_1 - l_0) = m_1 \cdot g$

2. С грузом массой $m_2$:

$F_{упр2} = F_{тяж2}$

$k \cdot (l_2 - l_0) = m_2 \cdot g$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $k$ и $l_0$. Чтобы найти $k$, вычтем из второго уравнения первое:

$k \cdot (l_2 - l_0) - k \cdot (l_1 - l_0) = m_2 \cdot g - m_1 \cdot g$

Раскроем скобки в левой части:

$k \cdot l_2 - k \cdot l_0 - k \cdot l_1 + k \cdot l_0 = (m_2 - m_1) \cdot g$

$k \cdot (l_2 - l_1) = (m_2 - m_1) \cdot g$

Отсюда выразим жесткость пружины $k$:

$k = \frac{(m_2 - m_1) \cdot g}{l_2 - l_1}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ Н/кг}$.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$k = \frac{(0,42 \text{ кг} - 0,18 \text{ кг}) \cdot 10 \text{ Н/кг}}{0,260 \text{ м} - 0,228 \text{ м}} = \frac{0,24 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг}}{0,032 \text{ м}} = \frac{2,4 \text{ Н}}{0,032 \text{ м}} = 75 \text{ Н/м}$

Ответ: жесткость пружины равна 75 Н/м.