Номер 402, страница 90 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Частота вращения стержня: $\nu$

Масса муфты: $m$

Жесткость пружины: $k$

Длина пружины в недеформированном состоянии: $l_0$

Найти:

Длину пружины при вращении: $l$

Решение:

Когда стержень вращается с частотой $\nu$, муфта движется по окружности. Обозначим искомую длину пружины (которая также является радиусом вращения муфты) через $l$. Поскольку муфта движется по окружности, на нее действует центростремительная сила, которая создается силой упругости растянутой пружины. Силы тяжести и реакции опоры со стороны стержня действуют в вертикальном направлении и уравновешивают друг друга, поэтому в горизонтальной плоскости мы можем записать второй закон Ньютона.

Единственная сила, действующая на муфту в горизонтальном направлении (вдоль стержня), — это сила упругости пружины $F_{упр}$. Эта сила направлена к центру вращения и сообщает муфте центростремительное ускорение $a_ц$.

Согласно второму закону Ньютона:$F_{упр} = m \cdot a_ц$

Сила упругости определяется по закону Гука:$F_{упр} = k \cdot \Delta l$где $\Delta l$ — удлинение пружины. Удлинение равно разности между конечной длиной $l$ и начальной недеформированной длиной $l_0$:$\Delta l = l - l_0$Следовательно, $F_{упр} = k(l - l_0)$.

Центростремительное ускорение тела, вращающегося по окружности радиусом $l$ с угловой скоростью $\omega$, равно:$a_ц = \omega^2 \cdot l$

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой вращения $\nu$ соотношением:$\omega = 2\pi\nu$

Подставим выражение для угловой скорости в формулу для ускорения:$a_ц = (2\pi\nu)^2 \cdot l = 4\pi^2\nu^2l$

Теперь приравняем выражения для силы упругости и центростремительной силы ($m \cdot a_ц$):$k(l - l_0) = m \cdot (4\pi^2\nu^2l)$

Раскроем скобки и выразим искомую длину $l$:$kl - kl_0 = 4\pi^2\nu^2ml$$kl - 4\pi^2\nu^2ml = kl_0$$l(k - 4\pi^2\nu^2m) = kl_0$

Отсюда находим длину пружины $l$:$l = \frac{k \cdot l_0}{k - 4\pi^2\nu^2m}$

Это равновесное положение существует, пока знаменатель положителен, то есть при $k > 4\pi^2\nu^2m$. Если частота вращения слишком велика, равновесие невозможно.

Ответ: $l = \frac{kl_0}{k - 4\pi^2\nu^2m}$