Номер 400, страница 90 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Длина пружины с одним грузом на конце: $l_1$

Длина пружины с одним грузом на конце и одним грузом посередине: $l_2$

Масса грузов одинакова.

Найти:

Длину пружины в недеформированном состоянии: $l_0$.

Решение:

Пусть $l_0$ — начальная длина пружины в недеформированном состоянии, $k$ — её коэффициент жесткости, $m$ — масса каждого груза.

1. Первый случай: один груз на конце пружины.

Когда к нижнему концу пружины прикрепляют груз массой $m$, на него действует сила тяжести $F_g = mg$. Эта сила уравновешивается силой упругости пружины $F_{упр}$. Согласно закону Гука, $F_{упр} = k \cdot \Delta l_1$, где $\Delta l_1$ — удлинение пружины.

Удлинение пружины равно разности её конечной и начальной длин: $\Delta l_1 = l_1 - l_0$.

В состоянии равновесия сила упругости равна силе тяжести:

$k (l_1 - l_0) = mg$

Из этого уравнения можно выразить удлинение, приходящееся на единицу силы:

$\frac{mg}{k} = l_1 - l_0$ (1)

2. Второй случай: один груз на конце и один груз посередине.

В этом случае пружину можно мысленно разделить на две половины: верхнюю и нижнюю. Поскольку пружина однородная и легкая, жесткость каждой половины будет в два раза больше жесткости всей пружины. Жесткость каждой половины равна $k' = 2k$. Начальная длина каждой половины равна $l_0/2$.

Верхняя половина пружины растягивается под действием веса обоих грузов, то есть силой $2mg$. Её удлинение $\Delta l_{верх}$ равно:

$\Delta l_{верх} = \frac{2mg}{k'} = \frac{2mg}{2k} = \frac{mg}{k}$

Нижняя половина пружины растягивается только под действием веса нижнего груза, то есть силой $mg$. Её удлинение $\Delta l_{низ}$ равно:

$\Delta l_{низ} = \frac{mg}{k'} = \frac{mg}{2k}$

Общая длина пружины $l_2$ складывается из начальной длины $l_0$ и удлинений обеих половин:

$l_2 = l_0 + \Delta l_{верх} + \Delta l_{низ} = l_0 + \frac{mg}{k} + \frac{mg}{2k} = l_0 + \frac{3}{2}\frac{mg}{k}$ (2)

3. Нахождение $l_0$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $\frac{mg}{k}$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$l_2 = l_0 + \frac{3}{2}(l_1 - l_0)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $l_0$:

$l_2 = l_0 + \frac{3}{2}l_1 - \frac{3}{2}l_0$

$l_2 = \frac{3}{2}l_1 - \frac{1}{2}l_0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$2l_2 = 3l_1 - l_0$

Выразим $l_0$:

$l_0 = 3l_1 - 2l_2$

Ответ: $l_0 = 3l_1 - 2l_2$.