Номер 463, страница 100 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Радиус планеты $R = 2500 \text{ км}$

Средняя плотность планеты $\langle\rho\rangle = 4,5 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

Перевод в систему СИ:

$R = 2500 \text{ км} = 2500 \cdot 10^3 \text{ м} = 2,5 \cdot 10^6 \text{ м}$

$\langle\rho\rangle = 4,5 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 4,5 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 4,5 \cdot \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 4,5 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 4500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Модуль первой космической скорости $v_1$.

Решение:

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую необходимо придать телу на поверхности планеты, чтобы оно стало ее искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. Для нахождения этой скорости, приравняем силу всемирного тяготения к центростремительной силе, действующей на спутник.

$F_{\text{тяг}} = F_{\text{цс}}$

$\frac{GMm}{R^2} = \frac{mv_1^2}{R}$

где $G$ — гравитационная постоянная ($G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$), $M$ — масса планеты, $m$ — масса спутника, $R$ — радиус планеты (радиус орбиты).

Сократив массу спутника $m$ и радиус $R$, получим формулу для первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

Масса планеты $M$ неизвестна, но мы можем выразить ее через среднюю плотность $\langle\rho\rangle$ и объем $V$. Принимая планету за шар, ее объем равен:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Тогда масса планеты:

$M = \langle\rho\rangle V = \langle\rho\rangle \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим это выражение для массы в формулу для первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot (\langle\rho\rangle \frac{4}{3}\pi R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{4}{3}\pi G \langle\rho\rangle R^2} = R\sqrt{\frac{4\pi G \langle\rho\rangle}{3}}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу в системе СИ:

$v_1 = 2,5 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{4 \cdot 3,14 \cdot (6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}) \cdot (4500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})}{3}}$

Проведем вычисления:

$v_1 = 2,5 \cdot 10^6 \cdot \sqrt{\frac{4 \cdot 3,14 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 4500}{3}} \approx 2,5 \cdot 10^6 \cdot \sqrt{\frac{3,77 \cdot 10^{-6}}{3}} \approx 2,5 \cdot 10^6 \cdot \sqrt{1,257 \cdot 10^{-6}}$

$v_1 \approx 2,5 \cdot 10^6 \cdot 1,121 \cdot 10^{-3} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 2803 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Переведем скорость в километры в секунду:

$2803 \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 2,8 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Ответ: модуль первой космической скорости для планеты составляет примерно $2803 \frac{\text{м}}{\text{с}}$ или $2,8 \frac{\text{км}}{\text{с}}$.