Номер 458, страница 99 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Отношение радиуса Солнца к радиусу Земли: $\frac{R_С}{R_З} = k = 110$
Отношение средней плотности Земли к средней плотности Солнца: $\frac{\rho_З}{\rho_С} = n = 4$
Ускорение свободного падения у поверхности Земли: $g_З = g$

Величины $k$ и $n$ являются безразмерными, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Ускорение свободного падения у поверхности Солнца: $g_С$

Решение:

Модуль ускорения свободного падения $g$ на поверхности сферического небесного тела радиусом $R$ и массой $M$ определяется по формуле закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{R^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

Массу тела можно выразить через его среднюю плотность $\rho$ и объем $V$:

$M = \rho \cdot V$

Объем шара вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3} \pi R^3$

Подставим выражение для массы в формулу для ускорения свободного падения:

$g = G \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$

Запишем эту формулу для Земли и для Солнца:

Ускорение свободного падения на Земле: $g_З = \frac{4}{3} \pi G \rho_З R_З$

Ускорение свободного падения на Солнце: $g_С = \frac{4}{3} \pi G \rho_С R_С$

Чтобы найти $g_С$, найдем отношение $g_С$ к $g_З$:

$\frac{g_С}{g_З} = \frac{\frac{4}{3} \pi G \rho_С R_С}{\frac{4}{3} \pi G \rho_З R_З} = \frac{\rho_С R_С}{\rho_З R_З}$

Сгруппируем отношения радиусов и плотностей:

$\frac{g_С}{g_З} = \left(\frac{R_С}{R_З}\right) \cdot \left(\frac{\rho_С}{\rho_З}\right)$

Из условия задачи нам известно, что $\frac{R_С}{R_З} = k$ и $\frac{\rho_З}{\rho_С} = n$, следовательно $\frac{\rho_С}{\rho_З} = \frac{1}{n}$.

Подставим эти значения в полученное отношение:

$\frac{g_С}{g_З} = k \cdot \frac{1}{n} = \frac{k}{n}$

Отсюда выразим ускорение свободного падения на Солнце $g_С$:

$g_С = g_З \cdot \frac{k}{n}$

Подставим числовые значения $k=110$, $n=4$ и $g_З=g$:

$g_С = g \cdot \frac{110}{4} = 27.5 g$

Ответ: ускорение свободного падения у поверхности Солнца равно $27.5 g$.