Номер 451, страница 98 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Расстояние между центрами Земли и Луны: $R = 60 R_З$

Масса Земли в $k=81$ раз больше массы Луны: $M_З = 81 M_Л$

Найти:

$x$ — расстояние от центра Луны, на котором модули сил притяжения корабля к Земле и к Луне будут равны.

Решение:

Пусть $m$ — масса космического корабля, $M_З$ — масса Земли, а $M_Л$ — масса Луны. Расстояние между центрами Земли и Луны обозначим как $R$. По условию $R = 60 R_З$, где $R_З$ — радиус Земли.

Пусть искомое расстояние от центра Луны до корабля равно $x$. Тогда расстояние от центра Земли до корабля будет равно $R - x$. Точка, в которой силы притяжения равны, находится на прямой, соединяющей центры Земли и Луны.

Согласно закону всемирного тяготения, модуль силы притяжения корабля к Луне ($F_Л$) и к Земле ($F_З$) определяется формулами:

$F_Л = G \frac{M_Л m}{x^2}$

$F_З = G \frac{M_З m}{(R-x)^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

По условию задачи, эти силы должны быть равны по модулю: $F_З = F_Л$.

$G \frac{M_З m}{(R-x)^2} = G \frac{M_Л m}{x^2}$

Сократим $G$ и $m$ в обеих частях уравнения:

$\frac{M_З}{(R-x)^2} = \frac{M_Л}{x^2}$

Из условия известно, что $M_З = k \cdot M_Л$, где $k = 81$. Подставим это соотношение в уравнение:

$\frac{k \cdot M_Л}{(R-x)^2} = \frac{M_Л}{x^2}$

Сократим $M_Л$:

$\frac{k}{(R-x)^2} = \frac{1}{x^2}$

Преобразуем это уравнение:

$k x^2 = (R-x)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку расстояния $x$ и $R-x$ должны быть положительными, получаем единственное физически осмысленное решение:

$\sqrt{k} \cdot x = R - x$

Теперь выразим $x$:

$\sqrt{k} \cdot x + x = R$

$x(\sqrt{k} + 1) = R$

$x = \frac{R}{\sqrt{k} + 1}$

Подставим числовые значения $R = 60 R_З$ и $k=81$:

$\sqrt{k} = \sqrt{81} = 9$

$x = \frac{60 R_З}{9 + 1} = \frac{60 R_З}{10} = 6 R_З$

Таким образом, на расстоянии $6 R_З$ от центра Луны силы притяжения к Земле и Луне уравновесятся.

Ответ: на расстоянии $6R_З$ от центра Луны.