Номер 453, страница 98 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса первого шара $m_1 = 10$ кг

Масса второго шара $m_2 = 90$ кг

Расстояние между шарами $r = 10$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Расстояние от первого шара $x$, на котором нужно поместить третий шар.

Решение:

Пусть масса третьего шара равна $m_3$. Чтобы результирующая сила притяжения, действующая на этот шар, была равна нулю, необходимо, чтобы силы притяжения со стороны первого и второго шаров были равны по величине и противоположны по направлению. Такое возможно только в том случае, если третий шар находится на прямой, соединяющей центры первых двух шаров, и расположен между ними.

Обозначим искомое расстояние от первого шара (массой $m_1$) до третьего шара как $x$. Тогда расстояние от второго шара (массой $m_2$) до третьего шара будет равно $(r - x)$.

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения $F_1$, с которой первый шар действует на третий, равна:

$F_1 = G \frac{m_1 m_3}{x^2}$

Сила притяжения $F_2$, с которой второй шар действует на третий, равна:

$F_2 = G \frac{m_2 m_3}{(r - x)^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

По условию равновесия, модули этих сил должны быть равны:

$F_1 = F_2$

$G \frac{m_1 m_3}{x^2} = G \frac{m_2 m_3}{(r - x)^2}$

Сократим одинаковые множители $G$ и $m_3$ в обеих частях уравнения. Масса третьего шара не влияет на его положение равновесия.

$\frac{m_1}{x^2} = \frac{m_2}{(r - x)^2}$

Перегруппируем члены, чтобы было удобнее извлечь корень:

$\frac{(r - x)^2}{x^2} = \frac{m_2}{m_1}$

$\left(\frac{r - x}{x}\right)^2 = \frac{m_2}{m_1}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку $x$ и $(r - x)$ — это расстояния, они являются положительными величинами, поэтому мы берем положительное значение корня:

$\frac{r - x}{x} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{10 - x}{x} = \sqrt{\frac{90 \text{ кг}}{10 \text{ кг}}} = \sqrt{9} = 3$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$10 - x = 3x$

$10 = 3x + x$

$10 = 4x$

$x = \frac{10}{4} = 2,5$ м

Таким образом, третий шар следует поместить на расстоянии 2,5 м от первого шара (который имеет меньшую массу).

Ответ: третий шар надо поместить на расстоянии 2,5 м от первого шара.