Номер 448, страница 98 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Расстояние между алюминиевыми шарами $r_1 = 9,0$ м.

Сила притяжения для стальных шаров равна силе притяжения для алюминиевых шаров $F_{ст} = F_{ал}$.

Размеры (и, следовательно, объемы) стальных и алюминиевых шаров одинаковы $V_{ст} = V_{ал} = V$.

Плотность алюминия $\rho_{ал} = 2700 \text{ кг/м}^3$.

Плотность стали $\rho_{ст} = 7800 \text{ кг/м}^3$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Расстояние между стальными шарами $r_2$.

Решение:

Сила гравитационного притяжения между двумя телами описывается законом всемирного тяготения Ньютона: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ — массы тел, а $r$ — расстояние между их центрами.

Для двух одинаковых алюминиевых шаров сила притяжения $F_{ал}$ равна: $F_{ал} = G \frac{m_{ал} \cdot m_{ал}}{r_1^2} = G \frac{m_{ал}^2}{r_1^2}$.

Для двух одинаковых стальных шаров сила притяжения $F_{ст}$ равна: $F_{ст} = G \frac{m_{ст} \cdot m_{ст}}{r_2^2} = G \frac{m_{ст}^2}{r_2^2}$, где $r_2$ — искомое расстояние.

Массу каждого шара можно выразить через его плотность ($\rho$) и объем ($V$) по формуле $m = \rho V$. Поскольку по условию шары имеют одинаковые размеры, их объемы равны. Тогда массы шаров: $m_{ал} = \rho_{ал} V$ $m_{ст} = \rho_{ст} V$

Подставим выражения для масс в формулы для сил притяжения: $F_{ал} = G \frac{(\rho_{ал} V)^2}{r_1^2} = G \frac{\rho_{ал}^2 V^2}{r_1^2}$ $F_{ст} = G \frac{(\rho_{ст} V)^2}{r_2^2} = G \frac{\rho_{ст}^2 V^2}{r_2^2}$

По условию задачи силы притяжения равны, $F_{ал} = F_{ст}$. Приравняем правые части выражений: $G \frac{\rho_{ал}^2 V^2}{r_1^2} = G \frac{\rho_{ст}^2 V^2}{r_2^2}$

В этом уравнении можно сократить одинаковые множители $G$ и $V^2$, так как они не равны нулю: $\frac{\rho_{ал}^2}{r_1^2} = \frac{\rho_{ст}^2}{r_2^2}$

Выразим из полученного соотношения $r_2^2$: $r_2^2 = r_1^2 \frac{\rho_{ст}^2}{\rho_{ал}^2}$

Чтобы найти $r_2$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $r_2 = \sqrt{r_1^2 \frac{\rho_{ст}^2}{\rho_{ал}^2}} = r_1 \frac{\rho_{ст}}{\rho_{ал}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу: $r_2 = 9,0 \text{ м} \cdot \frac{7800 \text{ кг/м}^3}{2700 \text{ кг/м}^3} = 9,0 \cdot \frac{78}{27} \text{ м} = 9,0 \cdot \frac{26}{9} \text{ м} = 26 \text{ м}$.

Ответ: два стальных шара должны находиться на расстоянии 26 м друг от друга.