Номер 449, страница 98 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Начальная сила взаимодействия: $F_0$
Отношение масс новых шаров к массам старых: $n = \frac{m_1}{m_0} = 8$
Плотности материалов одинаковы: $\rho_1 = \rho_0 = \rho$
Оба раза шары соприкасаются.

Найти:

Конечную силу взаимодействия $F_1$.

Решение:

Сила гравитационного взаимодействия между двумя телами определяется законом всемирного тяготения:
$F = G \frac{m_a m_b}{r^2}$
где $G$ — гравитационная постоянная, $m_a$ и $m_b$ — массы тел, а $r$ — расстояние между их центрами.

В первом случае два одинаковых шара массой $m_0$ и радиусом $R_0$ соприкасаются. Расстояние между их центрами равно $r_0 = R_0 + R_0 = 2R_0$. Сила их взаимодействия равна $F_0$:
$F_0 = G \frac{m_0 \cdot m_0}{(2R_0)^2} = G \frac{m_0^2}{4R_0^2}$

Во втором случае рассматриваются два других шара из того же материала (т.е. той же плотности $\rho$), но с массой $m_1$ каждый, где $m_1 = n \cdot m_0 = 8m_0$. Пусть их радиус равен $R_1$.

Масса шара связана с его радиусом и плотностью через объем $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:
$m = \rho \cdot V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$
Отсюда можно выразить радиус через массу:
$R^3 = \frac{3m}{4\pi\rho} \implies R = \sqrt[3]{\frac{3m}{4\pi\rho}}$

Найдем соотношение между радиусами $R_1$ и $R_0$:
$\frac{R_1}{R_0} = \frac{\sqrt[3]{\frac{3m_1}{4\pi\rho}}}{\sqrt[3]{\frac{3m_0}{4\pi\rho}}} = \sqrt[3]{\frac{m_1}{m_0}} = \sqrt[3]{n}$
Таким образом, $R_1 = R_0 \cdot \sqrt[3]{n}$.

Сила взаимодействия $F_1$ для новых соприкасающихся шаров (расстояние между их центрами $r_1 = 2R_1$):
$F_1 = G \frac{m_1^2}{(2R_1)^2} = G \frac{m_1^2}{4R_1^2}$

Подставим в это выражение $m_1 = n \cdot m_0$ и $R_1 = R_0 \cdot \sqrt[3]{n}$:
$F_1 = G \frac{(n \cdot m_0)^2}{4(R_0 \cdot \sqrt[3]{n})^2} = G \frac{n^2 m_0^2}{4R_0^2 (\sqrt[3]{n})^2} = G \frac{n^2 m_0^2}{4R_0^2 n^{2/3}}$

Вынесем множители, зависящие от $n$, и сгруппируем оставшееся выражение:
$F_1 = \frac{n^2}{n^{2/3}} \cdot \left( G \frac{m_0^2}{4R_0^2} \right)$
Выражение в скобках — это первоначальная сила $F_0$.
$F_1 = n^{2 - \frac{2}{3}} \cdot F_0 = n^{\frac{4}{3}} \cdot F_0$

Подставим заданное значение $n=8$:
$F_1 = 8^{\frac{4}{3}} \cdot F_0 = (\sqrt[3]{8})^4 \cdot F_0 = 2^4 \cdot F_0 = 16F_0$

Ответ: $16F_0$.