Номер 456, страница 99 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Высота 1: $h_1 = \frac{1}{4}R$
Высота 2: $h_2 = R$
Ускорение свободного падения на поверхности Земли: $g = 10 \frac{м}{с^2}$
$R$ — радиус Земли.

Данные представлены в системе СИ (за исключением радиуса $R$, который сокращается в расчетах).

Найти:

1. График зависимости модуля ускорения свободного падения $g_h$ от высоты $h$.
2. Модуль ускорения $g_1$ на высоте $h_1$.
3. Модуль ускорения $g_2$ на высоте $h_2$.

Решение:

Модуль ускорения свободного падения на поверхности Земли (на расстоянии $R$ от ее центра) определяется по закону всемирного тяготения:$g = G \frac{M}{R^2}$, где $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса Земли.

На высоте $h$ над поверхностью Земли расстояние до ее центра равно $r = R + h$. Модуль ускорения свободного падения $g_h$ на этой высоте будет:$g_h = G \frac{M}{(R+h)^2}$.

Чтобы найти зависимость $g_h$ от $g$ и $h$, выразим произведение $GM$ из первой формулы: $GM = gR^2$. Подставим это выражение во вторую формулу:$g_h = \frac{gR^2}{(R+h)^2} = g \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$.

Эта формула описывает зависимость модуля ускорения свободного падения от высоты над поверхностью Земли.

Постройте график зависимости модуля ускорения свободного падения от высоты тела над поверхностью Земли.

Для построения графика $g_h(h)$ воспользуемся полученной зависимостью $g_h = g \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$. По оси абсцисс (горизонтальной) откладывается высота $h$, а по оси ординат (вертикальной) – модуль ускорения $g_h$.
Основные свойства графика:
- При $h=0$ (на поверхности Земли): $g_h = g = 10 \frac{м}{с^2}$. Это начальная точка графика на оси ординат.
- С увеличением высоты $h$ знаменатель $(R+h)^2$ растет, следовательно, значение $g_h$ нелинейно уменьшается.
- При $h \to \infty$, значение $g_h \to 0$, то есть ось высот является горизонтальной асимптотой для графика.
График представляет собой плавно убывающую кривую. Для его построения можно рассчитать несколько контрольных точек:
- $h = 0 \implies g_h = 10 \frac{м}{с^2}$
- $h = \frac{1}{4}R \implies g_h = 6.4 \frac{м}{с^2}$
- $h = R \implies g_h = 2.5 \frac{м}{с^2}$
- $h = 2R \implies g_h = 10 \cdot (\frac{R}{3R})^2 = \frac{10}{9} \approx 1.11 \frac{м}{с^2}$

Определите модуль ускорения тела на высоте $h_1 = \frac{1}{4}R$ и $h_2 = R$ над Землей.

Для высоты $h_1 = \frac{1}{4}R$:
$g_1 = g \left(\frac{R}{R+h_1}\right)^2 = 10 \cdot \left(\frac{R}{R+\frac{1}{4}R}\right)^2 = 10 \cdot \left(\frac{R}{\frac{5}{4}R}\right)^2 = 10 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 10 \cdot \frac{16}{25} = \frac{160}{25} = 6.4 \frac{м}{с^2}$.
Ответ: $6.4 \frac{м}{с^2}$.

Для высоты $h_2 = R$:
$g_2 = g \left(\frac{R}{R+h_2}\right)^2 = 10 \cdot \left(\frac{R}{R+R}\right)^2 = 10 \cdot \left(\frac{R}{2R}\right)^2 = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 10 \cdot \frac{1}{4} = 2.5 \frac{м}{с^2}$.
Ответ: $2.5 \frac{м}{с^2}$.