Номер 459, страница 99 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Отношение веса на полюсе к весу на экваторе: $P_{пол} / P_{экв} = n$
Средняя плотность планеты: $\langle\rho\rangle$

Найти:

Период обращения планеты $T$.

Решение:

Вес тела (сила, с которой оно действует на опору) на полюсе шарообразной планеты обусловлен только силой гравитационного притяжения. Пусть $m$ — масса тела, $M$ — масса планеты, $R$ — ее радиус, а $G$ — гравитационная постоянная.

Вес на полюсе $P_{пол}$ равен силе тяжести $F_g$:

$P_{пол} = F_g = G \frac{Mm}{R^2}$

На экваторе на тело, помимо силы тяжести $F_g$, действует центробежная сила инерции $F_ц = m a_c = m \omega^2 R$, направленная от центра планеты, где $\omega$ — угловая скорость вращения планеты. Вес тела на экваторе $P_{экв}$ будет равен разности силы тяжести и центробежной силы:

$P_{экв} = F_g - F_ц = G \frac{Mm}{R^2} - m \omega^2 R$

Согласно условию задачи, $P_{пол} = n \cdot P_{экв}$. Подставим полученные выражения:

$G \frac{Mm}{R^2} = n \left( G \frac{Mm}{R^2} - m \omega^2 R \right)$

Сократим обе части уравнения на массу тела $m$:

$G \frac{M}{R^2} = n \left( G \frac{M}{R^2} - \omega^2 R \right)$

Массу планеты $M$ можно выразить через ее среднюю плотность $\langle\rho\rangle$ и объем шара $V = \frac{4}{3} \pi R^3$:

$M = \langle\rho\rangle V = \langle\rho\rangle \frac{4}{3} \pi R^3$

Подставим это выражение для массы в наше уравнение:

$G \frac{\langle\rho\rangle \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = n \left( G \frac{\langle\rho\rangle \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} - \omega^2 R \right)$

Упростим, сократив $R^2$ в дробях:

$G \langle\rho\rangle \frac{4}{3} \pi R = n \left( G \langle\rho\rangle \frac{4}{3} \pi R - \omega^2 R \right)$

Сократим обе части на радиус $R$:

$G \langle\rho\rangle \frac{4}{3} \pi = n \left( G \langle\rho\rangle \frac{4}{3} \pi - \omega^2 \right)$

Теперь выразим $\omega^2$:

$G \langle\rho\rangle \frac{4}{3} \pi = n G \langle\rho\rangle \frac{4}{3} \pi - n \omega^2$

$n \omega^2 = n G \langle\rho\rangle \frac{4}{3} \pi - G \langle\rho\rangle \frac{4}{3} \pi$

$n \omega^2 = (n-1) G \langle\rho\rangle \frac{4}{3} \pi$

$\omega^2 = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{4 \pi G \langle\rho\rangle}{3}$

Период обращения $T$ связан с угловой скоростью $\omega$ формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Возведем в квадрат: $T^2 = \frac{4\pi^2}{\omega^2}$.

$T^2 = \frac{4\pi^2}{\frac{n-1}{n} \frac{4 \pi G \langle\rho\rangle}{3}} = \frac{4\pi^2 \cdot 3n}{(n-1) \cdot 4 \pi G \langle\rho\rangle}$

Сократим $4\pi$:

$T^2 = \frac{3 \pi n}{(n-1) G \langle\rho\rangle}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти период $T$:

$T = \sqrt{\frac{3 \pi n}{G \langle\rho\rangle (n-1)}}$

Ответ: $T = \sqrt{\frac{3 \pi n}{G \langle\rho\rangle (n-1)}}$