Номер 466, страница 100 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Увеличение периода обращения спутника: $k = \frac{T_2}{T_1} = 8$

Найти:

Отношение радиусов орбит: $\frac{R_2}{R_1}$

Решение:

Движение искусственного спутника Земли по круговой орбите описывается третьим законом Кеплера. Этот закон устанавливает связь между периодом обращения спутника ($T$) и радиусом его орбиты ($R$).

Согласно третьему закону Кеплера, квадрат периода обращения спутника прямо пропорционален кубу радиуса его круговой орбиты:

$T^2 \sim R^3$

Это можно записать в виде соотношения: $\frac{T^2}{R^3} = \text{const}$, где постоянная величина зависит от массы центрального тела (Земли) и гравитационной постоянной.

Запишем это соотношение для двух состояний спутника: начального (с параметрами $T_1$, $R_1$) и конечного (с параметрами $T_2$, $R_2$):

$\frac{T_1^2}{R_1^3} = \frac{T_2^2}{R_2^3}$

Наша цель — найти, во сколько раз увеличился радиус, то есть найти отношение $\frac{R_2}{R_1}$. Выразим это отношение из полученного уравнения:

$\frac{R_2^3}{R_1^3} = \frac{T_2^2}{T_1^2}$

$\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3 = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$

Из условия задачи нам известно, что период обращения увеличился в $k=8$ раз. Это означает, что:

$\frac{T_2}{T_1} = 8$

Подставим это значение в наше уравнение:

$\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3 = 8^2 = 64$

Чтобы найти отношение радиусов, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt[3]{64}$

$\frac{R_2}{R_1} = 4$

Таким образом, если период обращения спутника увеличится в 8 раз, то радиус его круговой орбиты увеличится в 4 раза.

Ответ: радиус круговой орбиты спутника увеличится в 4 раза.