Номер 465, страница 100 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Высота спутника над поверхностью Земли: $h$
Масса Земли: $M$
Радиус Земли: $R$

Найти:

Модуль скорости движения спутника $v$.

Решение:

Искусственный спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения со стороны Земли. Эта сила является центростремительной, так как она постоянно направлена к центру Земли и заставляет спутник двигаться по окружности.

Обозначим массу спутника как $m$. Расстояние от центра Земли до спутника (радиус орбиты) равно сумме радиуса Земли $R$ и высоты орбиты $h$: $r = R + h$

Согласно закону всемирного тяготения, сила гравитационного притяжения между Землей и спутником равна: $F_g = G \frac{M m}{r^2} = G \frac{M m}{(R+h)^2}$ где $G$ — гравитационная постоянная.

Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{r}$. Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила, действующая на спутник, равна: $F_c = m a_c = m \frac{v^2}{r} = m \frac{v^2}{R+h}$

Поскольку гравитационная сила выполняет роль центростремительной силы, приравняем их выражения: $F_g = F_c$ $G \frac{M m}{(R+h)^2} = m \frac{v^2}{R+h}$

В этом уравнении можно сократить массу спутника $m$ (что означает, что скорость на орбите не зависит от массы спутника) и один множитель $(R+h)$ в знаменателе: $G \frac{M}{R+h} = v^2$

Из этого выражения находим модуль скорости движения спутника $v$, извлекая квадратный корень: $v = \sqrt{\frac{G M}{R+h}}$

Ответ: $v = \sqrt{\frac{G M}{R+h}}$