Номер 460, страница 99 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Угловая скорость вращения планеты: $\omega = 2.9 \cdot 10^{-4} \, \frac{\text{рад}}{\text{с}}$.

Соотношение веса на экваторе и на полюсе: $P_{экв} = (1 - 0.1) P_{пол} = 0.9 P_{пол}$.

Гравитационная постоянная: $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \, \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$.

Найти:

Среднюю плотность вещества планеты $\rho$.

Решение:

Вес тела на полюсе планеты $P_{пол}$ равен силе гравитационного притяжения $F_g$, так как на полюсе центростремительное ускорение, вызванное вращением планеты, равно нулю.

$P_{пол} = F_g = G \frac{M m}{R^2}$

где $M$ — масса планеты, $m$ — масса тела, $R$ — радиус планеты.

На экваторе на тело действуют две силы: сила гравитационного притяжения $F_g$ (направлена к центру планеты) и сила реакции опоры $N_{экв}$ (направлена от центра). Вес тела на экваторе $P_{экв}$ по модулю равен силе реакции опоры $N_{экв}$. Разность этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_c = \omega^2 R$.

Согласно второму закону Ньютона:

$F_g - N_{экв} = m a_c$

Заменяя $F_g$ на $P_{пол}$ и $N_{экв}$ на $P_{экв}$, получаем:

$P_{пол} - P_{экв} = m \omega^2 R$

Из условия задачи известно, что $P_{экв} = 0.9 P_{пол}$. Подставим это в уравнение:

$P_{пол} - 0.9 P_{пол} = m \omega^2 R$

$0.1 P_{пол} = m \omega^2 R$

Теперь подставим выражение для веса на полюсе $P_{пол}$:

$0.1 \cdot G \frac{M m}{R^2} = m \omega^2 R$

Сократим массу тела $m$:

$0.1 G \frac{M}{R^2} = \omega^2 R$

Массу планеты $M$ можно выразить через ее среднюю плотность $\rho$ и объем $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ (считая планету шаром):

$M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$

Подставим это выражение для массы в наше уравнение:

$0.1 G \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \omega^2 R$

$0.1 G \rho \frac{4}{3} \pi R = \omega^2 R$

Сократим радиус планеты $R$, так как он присутствует в обеих частях уравнения. Это показывает, что для решения задачи знать радиус не требуется.

$0.1 G \rho \frac{4}{3} \pi = \omega^2$

Выразим из этого уравнения искомую среднюю плотность $\rho$:

$\rho = \frac{\omega^2}{0.1 \cdot G \cdot \frac{4}{3} \pi} = \frac{3 \omega^2}{0.4 \pi G}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\rho = \frac{3 \cdot (2.9 \cdot 10^{-4})^2}{0.4 \cdot 3.14 \cdot 6.67 \cdot 10^{-11}} = \frac{3 \cdot 8.41 \cdot 10^{-8}}{8.378 \cdot 10^{-11}} \approx \frac{25.23 \cdot 10^{-8}}{8.378 \cdot 10^{-11}} \approx 3.011 \cdot 10^3 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Учитывая, что исходные данные представлены с двумя значащими цифрами, округлим результат до двух значащих цифр.

$\rho \approx 3.0 \cdot 10^3 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: $\rho \approx 3.0 \cdot 10^3 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.