Номер 464, страница 100 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$M_П = n \cdot M_З$

$R_П = k \cdot R_З$

$n = 4.5$

$k = 2.0$

$R_З = 6.4 \cdot 10^6$ м

$g = 10 \frac{м}{с^2}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_П$ - ?

Решение:

Модуль первой космической скорости для любого небесного тела определяется по формуле:

$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

где $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса небесного тела, $R$ – его радиус.

Для планеты из условия задачи первая космическая скорость будет равна:

$v_П = \sqrt{\frac{G M_П}{R_П}}$

Для Земли первая космическая скорость равна:

$v_З = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З}}$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли связано с ее массой и радиусом следующим соотношением:

$g = \frac{G M_З}{R_З^2}$

Из этого соотношения можно выразить произведение $G M_З = g R_З^2$. Подставим это выражение в формулу для первой космической скорости Земли:

$v_З = \sqrt{\frac{g R_З^2}{R_З}} = \sqrt{g R_З}$

Теперь мы можем рассчитать первую космическую скорость для Земли, используя данные из условия:

$v_З = \sqrt{10 \frac{м}{с^2} \cdot 6.4 \cdot 10^6 м} = \sqrt{64 \cdot 10^6 \frac{м^2}{с^2}} = 8 \cdot 10^3 \frac{м}{с}$

Вернемся к формуле для первой космической скорости планеты. Подставим в нее соотношения масс и радиусов, данные в условии ($M_П = n M_З$ и $R_П = k R_З$):

$v_П = \sqrt{\frac{G (n M_З)}{k R_З}} = \sqrt{\frac{n}{k}} \cdot \sqrt{\frac{G M_З}{R_З}} = \sqrt{\frac{n}{k}} \cdot v_З$

Теперь подставим известные числовые значения для $n$, $k$ и рассчитанное значение $v_З$:

$v_П = \sqrt{\frac{4.5}{2.0}} \cdot 8 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = \sqrt{2.25} \cdot 8 \cdot 10^3 \frac{м}{с}$

$v_П = 1.5 \cdot 8 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = 12 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = 12 \frac{км}{с}$

Ответ: модуль первой космической скорости для планеты равен $12 \cdot 10^3 \frac{м}{с}$ или $12 \frac{км}{с}$.