Номер 468, страница 100 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Спутник 1 - геостационарный.

Спутник 2 - вращается вблизи поверхности планеты.

Отношение периодов $k = \frac{T_p}{T_s} = 8$, где $T_p$ - период вращения планеты вокруг своей оси, $T_s$ - период обращения второго спутника.

Найти:

Отношение высоты геостационарного спутника к радиусу планеты: $\frac{h}{R}$

Решение:

Рассмотрим движение двух спутников. Для любого спутника, вращающегося по круговой орбите, сила всемирного тяготения является центростремительной силой:

$F_g = F_{цс}$

$G \frac{Mm}{r^2} = m \omega^2 r$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты, $m$ — масса спутника, $r$ — радиус орбиты, $\omega$ — угловая скорость вращения.

Угловая скорость связана с периодом обращения $T$ как $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Подставим это в уравнение:

$G \frac{M}{r^2} = (\frac{2\pi}{T})^2 r$

Выразим квадрат периода: $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3$.

Это является третьим законом Кеплера для круговых орбит. Он гласит, что квадраты периодов обращения спутников вокруг одной и той же планеты относятся как кубы радиусов их орбит.

$(\frac{T_1}{T_2})^2 = (\frac{r_1}{r_2})^3$

Для геостационарного спутника (спутник 1) период обращения $T_g$ равен периоду вращения планеты $T_p$. Радиус его орбиты равен сумме радиуса планеты $R$ и высоты $h$ над поверхностью: $r_g = R + h$.

Для спутника, вращающегося вблизи поверхности (спутник 2), период обращения равен $T_s$. Радиус его орбиты можно считать равным радиусу планеты: $r_s \approx R$.

По условию задачи, $T_p = k \cdot T_s$. Так как $T_g = T_p$, то $T_g = k \cdot T_s$.

Применим третий закон Кеплера для этих двух спутников:

$(\frac{T_g}{T_s})^2 = (\frac{r_g}{r_s})^3$

Подставим известные соотношения:

$(\frac{k \cdot T_s}{T_s})^2 = (\frac{R+h}{R})^3$

$k^2 = (1 + \frac{h}{R})^3$

Теперь выразим искомое отношение $\frac{h}{R}$:

$1 + \frac{h}{R} = \sqrt[3]{k^2} = k^{2/3}$

$\frac{h}{R} = k^{2/3} - 1$

Подставим числовое значение $k=8$:

$\frac{h}{R} = 8^{2/3} - 1 = (\sqrt[3]{8})^2 - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

Ответ: высота спутника над поверхностью планеты в 3 раза больше ее радиуса.