Номер 609, страница 123 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса первого бруска $m_1 = 4,0$ кг

Масса второго бруска $m_2 = 6,0$ кг

Угол наклона плоскости $\alpha = 60^\circ$

Коэффициент трения между нижним бруском и плоскостью $\mu_1 = 0,15$

Коэффициент трения между верхним бруском и плоскостью $\mu_2 = 0,40$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Модуль силы натяжения нити $T$.

Решение:

Для решения задачи выберем систему координат, в которой ось Ox направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось Oy — перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Поскольку бруски связаны нерастяжимой нитью, они движутся с одинаковым ускорением $a$. В задаче указано, что $\mu_1$ — коэффициент трения для нижнего бруска, а $\mu_2$ — для верхнего.

Ускорение, с которым бы двигался каждый брусок по отдельности, определяется формулой $a' = g(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$. Для нижнего бруска $a'_1 = g(\sin 60^\circ - 0,15 \cos 60^\circ)$, а для верхнего $a'_2 = g(\sin 60^\circ - 0,40 \cos 60^\circ)$. Так как $\mu_1 < \mu_2$, то $a'_1 > a'_2$. Это означает, что нижний брусок стремится двигаться быстрее верхнего, следовательно, нить между ними будет натянута, и сила натяжения $T$ будет отлична от нуля.

Запишем второй закон Ньютона для каждого бруска в проекциях на выбранные оси.

Для нижнего бруска (массой $m_1$):

Силы, действующие на него: сила тяжести $m_1g$, сила нормальной реакции $N_1$, сила трения $F_{тр1}$ и сила натяжения нити $T$. Сила натяжения $T$ направлена против движения, то есть вверх по наклонной плоскости.

Проекция на ось Oy: $N_1 - m_1g \cos\alpha = 0 \implies N_1 = m_1g \cos\alpha$.

Сила трения скольжения: $F_{тр1} = \mu_1 N_1 = \mu_1 m_1g \cos\alpha$.

Проекция на ось Ox: $m_1g \sin\alpha - T - F_{тр1} = m_1a$.

Подставим выражение для силы трения: $m_1g \sin\alpha - T - \mu_1 m_1g \cos\alpha = m_1a$ (1).

Для верхнего бруска (массой $m_2$):

Силы, действующие на него: сила тяжести $m_2g$, сила нормальной реакции $N_2$, сила трения $F_{тр2}$ и сила натяжения нити $T$. Сила натяжения $T$ направлена по направлению движения, то есть вниз по наклонной плоскости.

Проекция на ось Oy: $N_2 - m_2g \cos\alpha = 0 \implies N_2 = m_2g \cos\alpha$.

Сила трения скольжения: $F_{тр2} = \mu_2 N_2 = \mu_2 m_2g \cos\alpha$.

Проекция на ось Ox: $m_2g \sin\alpha + T - F_{тр2} = m_2a$.

Подставим выражение для силы трения: $m_2g \sin\alpha + T - \mu_2 m_2g \cos\alpha = m_2a$ (2).

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $a$ и $T$. Для нахождения $T$ выразим ускорение $a$ из каждого уравнения и приравняем их.

Из уравнения (1): $a = \frac{m_1g \sin\alpha - T - \mu_1 m_1g \cos\alpha}{m_1} = g\sin\alpha - \frac{T}{m_1} - \mu_1g\cos\alpha$.

Из уравнения (2): $a = \frac{m_2g \sin\alpha + T - \mu_2 m_2g \cos\alpha}{m_2} = g\sin\alpha + \frac{T}{m_2} - \mu_2g\cos\alpha$.

Приравниваем правые части:

$g\sin\alpha - \frac{T}{m_1} - \mu_1g\cos\alpha = g\sin\alpha + \frac{T}{m_2} - \mu_2g\cos\alpha$.

Сокращаем $g\sin\alpha$ и переносим члены с $T$ в одну сторону, а остальные в другую:

$\mu_2g\cos\alpha - \mu_1g\cos\alpha = \frac{T}{m_1} + \frac{T}{m_2}$.

$g\cos\alpha(\mu_2 - \mu_1) = T\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right) = T\frac{m_1+m_2}{m_1m_2}$.

Отсюда выражаем силу натяжения нити $T$:

$T = \frac{m_1m_2 g\cos\alpha(\mu_2 - \mu_1)}{m_1 + m_2}$.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$T = \frac{4,0 \text{ кг} \cdot 6,0 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot \cos(60^\circ) \cdot (0,40 - 0,15)}{4,0 \text{ кг} + 6,0 \text{ кг}}$.

Так как $\cos(60^\circ) = 0,5$, получаем:

$T = \frac{24 \cdot 9,8 \cdot 0,5 \cdot 0,25}{10} = \frac{29,4}{10} = 2,94$ Н.

Ответ: $2,94$ Н.