Номер 607, страница 122 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Коэффициент трения между шероховатой стороной бруска и наклонной плоскостью: $ \mu $

Найти:

Модуль ускорения бруска $ a $.

Решение:

Для решения задачи рассмотрим два случая, описанные в условии. Обозначим массу бруска как $ m $, а угол наклона плоскости к горизонту как $ \alpha $.

1. Брусок лежит на шероховатой стороне.

В этом случае брусок находится в состоянии покоя. Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю. Выберем систему координат: ось $ Ox $ направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $ Oy $ — перпендикулярно ей вверх.

Запишем уравнения в проекциях на оси:

На ось $ Oy $: $ N - mg\cos\alpha = 0 $, где $ N $ — сила нормальной реакции опоры. Отсюда получаем $ N = mg\cos\alpha $.

На ось $ Ox $: $ mg\sin\alpha - F_{тр} = 0 $, где $ F_{тр} $ — сила трения покоя. Отсюда $ F_{тр} = mg\sin\alpha $.

По условию, сила трения покоя является максимальной. Максимальная сила трения покоя вычисляется по формуле $ F_{тр.макс} = \mu N $. Таким образом, $ F_{тр} = \mu N $.

Приравниваем выражения для силы трения и подставляем значение $ N $:

$ mg\sin\alpha = \mu(mg\cos\alpha) $

Сократив обе части на $ mg $, получим соотношение, связывающее угол наклона плоскости и коэффициент трения:

$ \sin\alpha = \mu\cos\alpha $

2. Брусок лежит на гладкой стороне.

Когда брусок переворачивают, он соприкасается с наклонной плоскостью гладкой стороной. Для гладкой поверхности коэффициент трения равен нулю, следовательно, сила трения отсутствует ($ F_{тр} = 0 $).

В этом случае брусок соскальзывает с ускорением $ a $. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось $ Ox $:

$ mg\sin\alpha = ma $

Из этого уравнения находим ускорение:

$ a = g\sin\alpha $

3. Определение ускорения.

Для нахождения численного значения ускорения необходимо выразить $ \sin\alpha $ через известный коэффициент трения $ \mu $. Для этого воспользуемся соотношением $ \sin\alpha = \mu\cos\alpha $, полученным в первом пункте, и основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Из соотношения выразим $ \cos\alpha = \frac{\sin\alpha}{\mu} $. Подставим это в тождество:

$ \sin^2\alpha + \left(\frac{\sin\alpha}{\mu}\right)^2 = 1 $

$ \sin^2\alpha + \frac{\sin^2\alpha}{\mu^2} = 1 $

$ \sin^2\alpha \left(1 + \frac{1}{\mu^2}\right) = 1 $

$ \sin^2\alpha \left(\frac{\mu^2+1}{\mu^2}\right) = 1 $

$ \sin^2\alpha = \frac{\mu^2}{\mu^2+1} $

Так как угол наклона $ \alpha $ находится в пределах от $ 0 $ до $ 90^\circ $, $ \sin\alpha $ является положительной величиной. Извлекая квадратный корень, получаем:

$ \sin\alpha = \frac{\mu}{\sqrt{\mu^2+1}} $

Наконец, подставляем полученное выражение для $ \sin\alpha $ в формулу для ускорения:

$ a = g\sin\alpha = g\frac{\mu}{\sqrt{\mu^2+1}} $

Ответ: $ a = g\frac{\mu}{\sqrt{\mu^2+1}} $.